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HansMayer
| Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 14:36: |
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Hallo. Ich habe Probleme mit einer Übungsaufgabe, deren Lösung mir bereits vorliegt, die ich aber nicht so recht nachvollziehen kann. Die Aufgabe lautet wie folgt (die Abkürzung sqrt(x) bedeutet "Quadratwurzel von x", a[n], b[n], c[n] sind Folgen, wobei n der Index ist): Mit einer beliebigen positiven Zahl a definiere man drei Folgen a[n], b[n], c[n] durch a[n]:= sqrt(n + a) - sqrt(n), b[n]:= sqrt(n + sqrt(n)) - sqrt(n), c[n]:= sqrt(n + (n/a)) - sqrt(n). Man zeige: für alle n < a^2 bestehen die Ungleichungen a[n] > b[n] > c[n]; es gilt aber lim(n -> oo) a[n]=0, lim(n -> oo) b[n]=1/2, lim(n -> oo) c[n]=oo. Und nun die Lösung: Es gilt a > sqrt(n) > n/a für n < a^2; daraus folgen die Ungleichungen wegen des strengen monotonen Wachsens der Wurzelfunktion. Die Limiten ergeben sich anhand der Darstellungen a[n]= a/(sqrt(n+a) + sqrt(n)), b[n]= sqrt(n)/(sqrt(n + sqrt(n)) + sqrt(n))= 1/sqrt(1 + (sqrt(n)/n)) + 1, c[n]= sqrt(n)*(sqrt(1 + 1/a) - 1). Jetzt meine Frage: Wie kommt man auf die Idee, die Folgen in der merkwürdigen Weise, wie es in der Lösung getan wurde, darzustellen (doch nicht etwa nur durch herumprobieren)? Vielen Dank an alle, die sich diese lange Ausführung durchlesen und sich dazu auch noch ein paar Gedanken machen. MfG Hans |
Franz Schreiner
| Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 10:25: |
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Hallo, es gilt a=(sqrt(n+a))^2 - (sqrt(n))^2=(sqrt(n+a)-sqrt(n))(sqrt(n+a)+sqrt(n)) nach binomischen Formeln. Damit ist die Darstellung für a(n) erklärt. Oft ist es aber einfacher, in so einem Fall erst einmal beide Darstellungen gleichzusetzen und zu überprüfen. Danach kommt einem dann die Idee, wie man auf sowas selber kommt ... Die Folgerung aus der Ungleichung ist hoffentlich klar, ohne Einschränkung kann man bei a-c den Term -sqrt(n) weglassen, dann ist das auch ganz einfach , genau wie die Limites mit der neuen Darstellung! |
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