| Autor |
Beitrag |
    
ariane
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 06:09: | 
|
Hallo,
hab mal wieder echt ein Problem mit den Aufgaben in Gruppentheorie:
Beweise: Besitzt die Gruppe G genau eine maximale Untergruppe, so ist G zyklisch!
Ich weiss überhaupt nicht, wie ich da ran gehen soll. Wenn es niemanden gibt, der Lust hat, den ganzen Beweis darzustellen: Bin auch für Hinweise sehr dankbar! Z.B. für einige Folgerungen aus der Voraussetzung, vielleicht komm ich dann ja ein bisschen weiter.
Oder vielleicht hat jemand ein paar Ideen zur 2.Aufgabe:
Diskutiere die Automorphismengruppe AutQ der Quaternionengruppe Q.
Ich danke vielmals im Voraus!!!!!
Ariane |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 15:55: |
|
Hallo Ariane
Wenn Du mir die Definiton einer maximalen Untergruppe verräts, werde ich gern versuchen, Dir bei der ersten Aufgaben zu helfen.
Zur zweiten:
Q besteht aus den 8 Elementen (e neutral):
e,a,b,a²,ab,a³,a²b,a³b
mit den Rechenregeln a²=b², a4=b4=e, ba=a³b
wobei {a,b} offensichtlich die Gruppe erzeugt. Also ist durch die Bilder von a und b jeder Automorphismus eindeutig bestimmt, und wir berechnen mal die Ordnungen, um unmögliche Automorphismen auszuschließen, da die Ordnung von Eementen erhalten bleibt, wenn man sie mit nem Automorphismus abbildet.
ord(e)=1
ord(a)=4
ord(b)=4
ord(a²)=2
ord(ab)=4
ord(a³)=4
ord(a²b)=4
ord(a³b)=4
Aus den Ordnungen lässt sich ablesen, dass a² auf a² abgebildet werden muss. Vielleicht fehlt mir grad das wissen, aber ich sehe nichts, was dagegen spricht, dass a und b auf jedes Element mit Ordnung 4 abgebildet werden können (solange das Bild von a ungleich dem Bild von b ist). Das ergibt 6*5=30 Elemente.
viele Grüße
SpockGeiger |
ariane
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 13:07: |
|
Hallo Spockgeiger und natürlich auch an alle anderen, die evtl. gewillt sind mir zu helfen,
danke erst mal für die bisherige Hilfe.
Das mit der Definition für max. Untergruppe ist so ein Ding! Ich konnte die nämlich auch nirgends finden, auch in der Vorlesung tauchte der Ausdruck plötzlich und ohne Def. auf.
Ich hatte gehofft jemand wüsste es. Ich gehe allerdings davon aus, das die Untergruppe mit maximaler Elementzahl gemeint ist. Hierbei allerdings nicht die Gruppe selbst, die ja auch Untergruppe von sich selbst ist.
Hättest Du, oder auch jemand anders, wenn man davon ausgeht eine Idee?
Ariane |
|
