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Beitrag |
    
Maria
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 08:19: | 
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Hi,
Probleme bei folgenden Aufgaben
1.)
(Z,+) ist eine Gruppe. Bestimmen Sie die kleinste Teilmenge T von Z, die die Elemente 3 und 5 enthält und (T,+) eine Gruppe ist.
Gehe ich recht in der Annahme, das die kleinste Teilmenge eben wieder Z ist, da alle Elemente gebraucht werden.
2.) Beweisen Sie: Ist (G,*) eine Gruppe, e neutrales Element und gilt a*a=e für alle a in G, so ist G kommutativ. NEnnen SIe Gruppen, für die das gilt.
3.) Beweisen Sie: Eine ENDLICHE reguläre Halbgruppe mit neutralem Element ist eine Gruppe.
4.) Beweisen Sie, dass in jeder Gruppe (G,*) gilt:
a) Aus a*b=c*b folgt a=c für alle a,b,c in G.
b) Die Gleichung y*a=b ist für alle a,b in G eindeutig nach y lösbar.
Hilfe wäre klasse. |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 13:17: |
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zu 1)
ich geh mal davon aus dass mit Z die Menge der ganzen Zahlen gemeint ist, weil du ja von 3 und 5 sprichst.
T muss dann Z sein, denn wegen 3,5 E T und T Gruppe sind auch (-3) + (-3) + (-3) + 5 + 5 = 1 enthalten und das inverse zu 1 also -1. -1 und 1 erzeugen aber ganz Z. Also ist T=Z.
zu 2)
seien a,b beliebig E G.
(a*b)*(b*a) = a*(b*b)*a = a*e*a = a*a = e;
und (a*b)*(a*b) = e;
=> (a*b)*(b*a) = (a*b)*(a*b);
=> b*a = a*b;
zu 4 a)
a*b=c*b;
das inverse zu b sei b^-1 und wird rechts drangeknüpft
aus a*b=c*b folgt also:
(a*b)*b^-1 = (c*b)*b^-1;
=> a*(b*b^-1) = c*(b*b^-1);
=> a*e = c*e; => a=c; |
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