| Autor |
Beitrag |
    
CK
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 09:47: | 
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y'+y^2+y/x-4/x^2=0
Hinweis: Um eine Lösung zu finden, verwende den Ansatz y = cx^k ceR keZ |
sonny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 12:01: |
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wo ist Dein Problem? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 14:00: |
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Hi CK,
Eine RICCATISCHE Dgl. lässt sich stets
auf eine lineare Dgl . reduzieren, wenn eine
spezielle Lösung bekannt ist
Um eine solche spezielle Lösung zu finden,
wählen wir den Ansatz;
y = c / x ( c const.)
Wir gehen mit diesem Ansatz in die Dgl.
und erhalten:
- c / x^2 + c^2 / x^2 + c / x^2 - 4 / x^2 = 0 , also
c ^ 2 = 4 ; wir wählen c = 2
Um die allgemeine Lösung der gegebenen Dgl .zu erhalten,
superponieren wir die soeben gefundene Lösung
y = 2 / x mit dem Reziproken einer noch zu bestimmenden
Hilfsfunktion u = u(x) .
Also neuer Ansatz:
y = 2 / x + 1 / u
Auch jetzt gehen wir mit dem Ansatz in die Dgl.
Wir erhalten mit y' = - 2 / x^2 - 1 / u^2 * u'
-2 / x^2 - 1/ u^2 * u' + 4 / x^2 + 4 / (u x) + 1/u^2
+ 2 /x^2 + 1 / (u x ) - 4 / x^2) = 0
vereinfacht und nach u' aufgelöst:
u' = 5* u / x + 1
Diese Dgl. für u ist homogen ;wir substituieren daher
u /x = z , also ist u = x * z und u' = z + x * z'
Wir erhalten für z die Dgl.
x * z ' = 5 * z + 1
Die Variablen x und z sind separierbar; wir erhalten:
dz / (4z+1) = dx / x
Durch Integration kommt;
¼ ln (4* z + 1) = ln ( k*x), k ist Integrationskonstante.
Somit:
ln (4*z+1) = 4*ln (k*x) oder mit einer neuen Konstanten C
4 * z + 1 = C * x ^ 4, ersetzt man z durch u/x , so kommt:
4 * u = C * x ^ 5 - x
Setzt man schliesslich u in den Ansatz ein, so erhält man
die allgemeine Lösung der gegebenen Riccatischen Dgl.
y = 2 / x + 4 / ( C * x ^ 5 - x )
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 14:34: |
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Hi CK,
Nachdem wir auf recht abenteuerliche Art Deine
Riccatische Dgl. erfolgreich gelöst haben, ist es
gewiss reizvoll, etwas über den Schöpfer solcher
Differentialgleichungen zu erfahren.
Ich zitiere aus dem "Brockhaus":
Riccati, Iacopo Francesco Graf, italien. Privatgelehrter
(1676-1754) führte eine umfangreiche philosoph.,
physikal.und mathemat.Korrespondenz und behandelte
in zahlreichen Aufsätzen Differentialgleichungen
(v.a.der Differentialgeometrie).
Riccati führte als erster Differentialgleichungn zweiter
Ordnung auf solche erster Ordnung zurück.
Die nach ihm benannte
Riccatische Differentialglechunh (1723)
dz / dx + z ^ 2 = a * x ^ n , wobei z eine Funktion von x
und a eine Konstante ist, wurde von J. und D, Bernoulli
sowie L.Euler untersucht;
damit begann der method. Aufbau der Theorie der
Differentialgleichungen.
Ende des Zitats.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
CK
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 19:23: |
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Ich danke dir noch mal für deine Hilfe! |
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