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Michi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 15:15: | 
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Hi Leute! Ich habe noch ein Problem.
Ich soll einen Wachstumsprozeß mit Hilfe der logistischen DGL modellieren:
dN/dt = a*N - b*N² a>0, b>0
Anmerkung:
N = # der Individuen zum Zeitpunkt t
a reguliert die Wachstumsrate
b Wachstumsgrenze
Ich wäre euch für jede Hilfe sehr dankbar. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 09:04: |
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Hallo :
Anleitung zur Loesung :
Die Variablen lassen sich trennen :
(1) dt = - dN/(bN^2-aN)
Setze zur Vereinfachung
(2) u := (2bN-a)/a ==> dN = (a/2b)du
und erhalte statt (1)
(3) [2/(u^2-1)] du = -a dt
Das laesst sich leicht integrieren :
(4) ln |(u-1)/(u+1)| + C = -at
C bestimmt sich aus dem Populationsumfang z.B.
zum Zeitpunkt t = 0. (4) laesst sich elementar
nach u bzw. nach N aufloesen.
Gruss
Hans |
Michi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 14:53: |
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Hallo Hans!
Vielen Dank für die rasche Hilfe! Leider bin ich in Mathe schwer von Begriff und scheit're bereits bei (2). Wie kommt man denn auf das u:=?
Danke!
Michi |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 21:37: |
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Der Nenner rechts in (1) wird mittels quadratischer Ergaenzung umgeformt :
bN^2-aN = b(N-a/(2b))^2 - a^2/(4b) ,
dann wird a^2/(4b) ausgeklammert. Dann rechnest Du nach, dass
bN^2-aN = (a^2/(4b))*[(2bN-a)/a)^2 - 1]
Diese Umformung haette man ja fŸr die Integration
der rechten Seite von (1) ohnehin durchfŸhren
mŸssen. |
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