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Integralrechnung: Was mache ich falsch?

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Markus Pöstinger (Sinister)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 09:31:   Beitrag drucken

Es wär lieb, wenn mir jemand meine Fehler aufzeigen würde... (Int heißt Integral von ...)

     x+sqrt(x)            t^2 + t
Int ----------- dx = Int --------- * 2t dt
     1+sqrt(x)             1 + t

Das bekommen wir durch Substitution: t=sqrt(x), t^2=x, x´=2t ; ich fahre fort mit

           t^2 + t                 t^3 + t^2
= 2 * Int ---------- dt = 2 * Int ----------- dt
           1/t + 1                     1

      1       1
= 2*( - t^4 + - t^3 ) + c
      4       3

  1       2
= - x^2 + - x + c
  2       3

Das ist aber (natürlich) falsch, aber was mache ich falsch. Vermutlich substituiere ich falsch und hab dann noch nen Rechenfehler drin, aber wie geht's richtig?
Die zweite Aufgabe:

Int[ sin(sqrt(x))dx ] = Int[ sin(t)*2t ]

Das bekomme ich durch dieselbe Substitution wie oben. Weiter

= 2* Int[ sin(t^2) ]

= -2*cos(t^2) + c

= -2*cos(x) + c

Natürlich auch falsch.

Ich hoffe, Ihr könnt mir weiterhelfen.
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 15:54:   Beitrag drucken

Hallo Markus,
Erstes Beispiel:
Der Fehler liegt im 1. Term der zweiten Zeile.

ò (x+sqrt(x))/(1+sqrt(x))*dx
Mit t=sqrt(x) erhält man:
2*ò (t²+t)*t/(1+t)*dt = 2*ò (t³+t²)/(t+1)*dt = 2*ò t²*dt=

= (2/3)t³ = (2/3)x3/2 + C
==========================
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 16:01:   Beitrag drucken

Zum 2. Beispiel:
Beim Integral sollst du immer ein Differenzial dazuschreiben!

sin(t)*2t ist NICHT = 2sin(t²)
(Warum schreibst du nicht: sin(2t²)? Natürlich auch falsch aber zumindest logisch).

ò 2t*sin(t)*dt mit partieller Integration lösen.
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Markus Pöstinger (Sinister)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 18:04:   Beitrag drucken

OK, danke, das hilft mir weiter. Studier Informatik und tu mich mit Analysis sehr schwer. Lineare Algebra empfinde ich dagegen als nicht so schwierig.
Nochwas: Wenn ich folgende Integrale berechnen soll, die von n abhängen

In := ò0 Pi/2 sinnx*dx

dann muß ich doch sowas wie ne Rekursionsformel bilden, aber wie und was kommt danach?
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 19:29:   Beitrag drucken

Hallo Markus,
Wenn man eine Rekursionsformel ermittelt hat, so ist die Aufgabe für den Mathematiker gelöst: man setzt einfach für das Integral mit dem sinn-2(x)wieder dieselbe Rekursionsformel ein, was auf ein Integral mit sinn-4(x) führt. Bis hin zu einem Integral von sin(x) oder sin²(x), das man ohne Rekursionsformel integrieren kann.
Bei etwas höheren Werten für n ist dies aber nur theoretisch durchführbar.

Praktisch würde man dann numerische Methoden anwenden oder, heutzutage, einem Computer die Rechenarbeit überlassen.

Die Rekursionsformel ist übrigens (aus meiner Formelsammlung):
ò sinn(x)dx = (-1/n)[sinn-1(x)cos(x)] + (n+1)/n*ò sinn-2(x)dx
================================
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Markus Pöstinger (Sinister)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 20:40:   Beitrag drucken

Jau, ich muß jetzt nur noch mit Rechenweg auf die Rekursionsformel kommen. ;)
Auf welchem Wege schaffe ich es denn, eine Rekursionsformel aus der gegebenen selber zu bauen?
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 15:30:   Beitrag drucken

Hallo Markus,
Zur Berechnung deines Integrals eignet sich folgende Formel besser als die Rekursionsformel:

für n ungerade und n>=3:
ò0 p/2sinn(x)dx = (2/3)*(4/5)*(6/7)*......*[(n-1)/n]

für n gerade und n>=2:
ò0 p/2sinn(x)dx = (1/2)*(3/4)*(5/6)*......*[(n-1)/n]*p/2
=================
Die Formel ist unter dem Namen Wallische Formel bekannt.

Die von dir erwähnte Rekursionsformel, kann man mit partieller Integration von sinn(x) herleiten.
======================
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Julia
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 18:04:   Beitrag drucken

Hallo Markus,
ich hab mal ne Frage zu deinen Beispielen ganz oben: wie kommst du in der ersten Zeile nach der Substitution auf *2t???
(Ist wahrscheinlich ne blöde Frage, aber ich bin nunmal nicht auf der Uni *g*)
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Markus Pöstinger (Sinister)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 18:13:   Beitrag drucken

     x+sqrt(x)            t^2 + t
Int ----------- dx = Int --------- * 2t dt
     1+sqrt(x)             1 + t


Ist keine blöde Frage. :)
Man substituiert t für sqrt(x), allerdings muß man die Chose dann noch nach x auflösen und ableiten, also:

t=sqrt(x) -> x = t^2 -> x' = 2t

Die Ableitung multipliziert man dann hinten an den Term ran, nachdem man substituiert hat.
Warum man das machen muß, muß allerdings jemand anders erklären. ;) Ich weiß nur, DASS man das so machen muß. :)
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Julia
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 18:24:   Beitrag drucken

Hi Markus,
ich hab zwar nicht ganz verstanden warum das so geht, aber trotzdem danke für die Antwort :-)
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 19:54:   Beitrag drucken

Hallo Julia,
Zur Substitution:
ò [x+sqrt(x)]/[1+sqrt(x)]*dx
=====================
Wir substituieren: t=sqrt(x) oder x=t²
Das heißt: wir schreiben überall anstatt x: t²

Wir müssen aber auch dx ersetzen! Da kann man nicht einfach: dt² schreiben, weil
dx ja nicht d*x bedeutet.

Wenn wir x=t² differenzieren, erhalten wir:
dx/dt = 2t
oder
dx = 2t*dt
Beim Substituieren müssen wir also dx durch 2t*dt ersetzen!

ò (t²+t)/(1+t)*2t*dt
=====================

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