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Markus Pöstinger (Sinister)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 09:31: |
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Es wär lieb, wenn mir jemand meine Fehler aufzeigen würde... (Int heißt Integral von ...) x+sqrt(x) t^2 + t Int ----------- dx = Int --------- * 2t dt 1+sqrt(x) 1 + t Das bekommen wir durch Substitution: t=sqrt(x), t^2=x, x´=2t ; ich fahre fort mit t^2 + t t^3 + t^2 = 2 * Int ---------- dt = 2 * Int ----------- dt 1/t + 1 1 1 1 = 2*( - t^4 + - t^3 ) + c 4 3 1 2 = - x^2 + - x + c 2 3 Das ist aber (natürlich) falsch, aber was mache ich falsch. Vermutlich substituiere ich falsch und hab dann noch nen Rechenfehler drin, aber wie geht's richtig? Die zweite Aufgabe: Int[ sin(sqrt(x))dx ] = Int[ sin(t)*2t ] Das bekomme ich durch dieselbe Substitution wie oben. Weiter = 2* Int[ sin(t^2) ] = -2*cos(t^2) + c = -2*cos(x) + c Natürlich auch falsch. Ich hoffe, Ihr könnt mir weiterhelfen. |
Fern
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 15:54: |
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Hallo Markus, Erstes Beispiel: Der Fehler liegt im 1. Term der zweiten Zeile. ò (x+sqrt(x))/(1+sqrt(x))*dx Mit t=sqrt(x) erhält man: 2*ò (t²+t)*t/(1+t)*dt = 2*ò (t³+t²)/(t+1)*dt = 2*ò t²*dt= = (2/3)t³ = (2/3)x3/2 + C ========================== |
Fern
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 16:01: |
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Zum 2. Beispiel: Beim Integral sollst du immer ein Differenzial dazuschreiben! sin(t)*2t ist NICHT = 2sin(t²) (Warum schreibst du nicht: sin(2t²)? Natürlich auch falsch aber zumindest logisch). ò 2t*sin(t)*dt mit partieller Integration lösen. |
Markus Pöstinger (Sinister)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 18:04: |
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OK, danke, das hilft mir weiter. Studier Informatik und tu mich mit Analysis sehr schwer. Lineare Algebra empfinde ich dagegen als nicht so schwierig. Nochwas: Wenn ich folgende Integrale berechnen soll, die von n abhängen In := ò0 Pi/2 sinnx*dx dann muß ich doch sowas wie ne Rekursionsformel bilden, aber wie und was kommt danach? |
Fern
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 19:29: |
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Hallo Markus, Wenn man eine Rekursionsformel ermittelt hat, so ist die Aufgabe für den Mathematiker gelöst: man setzt einfach für das Integral mit dem sinn-2(x)wieder dieselbe Rekursionsformel ein, was auf ein Integral mit sinn-4(x) führt. Bis hin zu einem Integral von sin(x) oder sin²(x), das man ohne Rekursionsformel integrieren kann. Bei etwas höheren Werten für n ist dies aber nur theoretisch durchführbar. Praktisch würde man dann numerische Methoden anwenden oder, heutzutage, einem Computer die Rechenarbeit überlassen. Die Rekursionsformel ist übrigens (aus meiner Formelsammlung): ò sinn(x)dx = (-1/n)[sinn-1(x)cos(x)] + (n+1)/n*ò sinn-2(x)dx ================================ |
Markus Pöstinger (Sinister)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 20:40: |
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Jau, ich muß jetzt nur noch mit Rechenweg auf die Rekursionsformel kommen. ;) Auf welchem Wege schaffe ich es denn, eine Rekursionsformel aus der gegebenen selber zu bauen? |
Fern
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 15:30: |
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Hallo Markus, Zur Berechnung deines Integrals eignet sich folgende Formel besser als die Rekursionsformel: für n ungerade und n>=3: ò0 p/2sinn(x)dx = (2/3)*(4/5)*(6/7)*......*[(n-1)/n] für n gerade und n>=2: ò0 p/2sinn(x)dx = (1/2)*(3/4)*(5/6)*......*[(n-1)/n]*p/2 ================= Die Formel ist unter dem Namen Wallische Formel bekannt. Die von dir erwähnte Rekursionsformel, kann man mit partieller Integration von sinn(x) herleiten. ====================== |
Julia
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 18:04: |
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Hallo Markus, ich hab mal ne Frage zu deinen Beispielen ganz oben: wie kommst du in der ersten Zeile nach der Substitution auf *2t??? (Ist wahrscheinlich ne blöde Frage, aber ich bin nunmal nicht auf der Uni *g*) |
Markus Pöstinger (Sinister)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 18:13: |
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x+sqrt(x) t^2 + t Int ----------- dx = Int --------- * 2t dt 1+sqrt(x) 1 + t Ist keine blöde Frage. Man substituiert t für sqrt(x), allerdings muß man die Chose dann noch nach x auflösen und ableiten, also: t=sqrt(x) -> x = t^2 -> x' = 2t Die Ableitung multipliziert man dann hinten an den Term ran, nachdem man substituiert hat. Warum man das machen muß, muß allerdings jemand anders erklären. ;) Ich weiß nur, DASS man das so machen muß. |
Julia
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 18:24: |
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Hi Markus, ich hab zwar nicht ganz verstanden warum das so geht, aber trotzdem danke für die Antwort :-) |
Fern
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 19:54: |
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Hallo Julia, Zur Substitution: ò [x+sqrt(x)]/[1+sqrt(x)]*dx ===================== Wir substituieren: t=sqrt(x) oder x=t² Das heißt: wir schreiben überall anstatt x: t² Wir müssen aber auch dx ersetzen! Da kann man nicht einfach: dt² schreiben, weil dx ja nicht d*x bedeutet. Wenn wir x=t² differenzieren, erhalten wir: dx/dt = 2t oder dx = 2t*dt Beim Substituieren müssen wir also dx durch 2t*dt ersetzen! ò (t²+t)/(1+t)*2t*dt ===================== |
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