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Benjamin (Benni121)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 21:32: |
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Gib die Lösung des Anfangswertproblems 2[y^2]+4[x^3]+4y([y^2]+x)y'=0, y(0)=1 in expliziter Form, d.h. als Vorschrift y=y(x), an. Auf welchem Intervall ist die Lösung definiert? wäre nett wenn das einer könnte danke |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 07:10: |
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Hi Benjamin, Mit Hilfe der Differentiale dx , dy und der Funktionen M(x,y) = 2 y ^ 2 + 4 x ^ 3 und N(x,y) = 4 y ^ 3 + 4 x * y schreiben wir die von Dir vorgelegte Dgl. so: M * dx + N * dy = 0 Wir ermitteln die partielle Ableitung My nach y und Nx nach x; wir erhalten: My = 4 * y , Nx = 4 * y Wegen der Uebereinstimmung dieser partiellen Ableitungen liegt eine exakte oder totale Dgl. vor . Es existiert somit eine Funktion G(x,y) , so dass für ihre partiellen Ableitungen Gx nach x und Gy nach y gilt: Gx = 2 y^2 + 4 x^3 , Gy = 4 y ^3 + 4 * x * y Durch Integration der ersten dieser Gleichungen nach x erhalten wir G = 2* x * y ^ 2 + x ^ 4 + h(y) mit einer noch unbekannten Funktion h(y) in einer Variablen y. . Jetzt leiten wir G(x ,.y) partiell nach y ab und setzen das Ergebnis gleich N(x.y) : Gy = 4 x * y + h' (y) = 4 * y ^ 3 + 4 x * y Wir erhalten eine Gleichung für h' , nämlich: h '(y) = 4 * y ^ 3, also: h (y) = y ^ 4 (die Integrationskonstante darf null gesetzt werden) Damit ist G(x,y) bekannt und mit der Beziehung G(x,y) = C ( constans ) auch die allgemeine Lösung der gegebenen Dgl., nämlich: 2 * x * y ^ 2 + x ^ 4 + y ^ 4 = C. Soll y/0) = 1 gelten , muss C eins gesetzt werden, also lautet die spezielle Lösung: nach einer kleinen Umstellung: y ^ 4 + 2 * x * y ^ 2 + x ^ 4 - 1 = 0 Durch Auflösung dieser biquadratischen Gleichung in y nach y^2 bezw. nach y erhält man die verlangte explizite Darstellung der Lösung y(x). Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 08:09: |
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Hi Benjamin, In einem Nachtrag ermitteln wir noch den Definitionsbereich der Lösung y = y(x) Zunächst erhalten wir y^2 beim Auflösen der biquadratischen Gleichung, nämlich y ^ 2 (x) = - x + wurzel [d(x)] , mit d(x) = x^2 - x ^ 4 +1 Pluszeichen vor der Wurzel wegen der Bedingung y(0) = 1 Die Bedingung d(x) > = 0 ist erfüllt für abs(x) < = wurzel [ ½ * (1+wurzel(5))] ~ 1,272 ( goldener Schnitt!) Wegen der Bedingung y ^ 2 > = 0 kommt: -1.272 < = x < = 1 als Def.bereich. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Benjamin (Benni121)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 13:01: |
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Super...besser geht es nicht....werde die Lösung vom Prof nächste Woche posten D A N K E D A N K E D A N K E D A N K E D A N K E D A N K E |
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