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Analysis II, Anfangswertproblem

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Benjamin (Benni121)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 21:32:   Beitrag drucken

Gib die Lösung des Anfangswertproblems
2[y^2]+4[x^3]+4y([y^2]+x)y'=0, y(0)=1
in expliziter Form, d.h. als Vorschrift y=y(x), an. Auf welchem Intervall ist die Lösung definiert?
wäre nett wenn das einer könnte

danke
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 07:10:   Beitrag drucken

Hi Benjamin,

Mit Hilfe der Differentiale dx , dy und der Funktionen
M(x,y) = 2 y ^ 2 + 4 x ^ 3 und
N(x,y) = 4 y ^ 3 + 4 x * y
schreiben wir die von Dir vorgelegte Dgl. so:
M * dx + N * dy = 0
Wir ermitteln die partielle Ableitung My nach y
und Nx nach x; wir erhalten:
My = 4 * y , Nx = 4 * y
Wegen der Uebereinstimmung dieser partiellen Ableitungen
liegt eine exakte oder totale Dgl. vor .

Es existiert somit eine Funktion G(x,y) , so dass für ihre
partiellen Ableitungen Gx nach x und Gy nach y gilt:
Gx = 2 y^2 + 4 x^3 ,
Gy = 4 y ^3 + 4 * x * y

Durch Integration der ersten dieser Gleichungen nach x
erhalten wir
G = 2* x * y ^ 2 + x ^ 4 + h(y) mit einer noch unbekannten
Funktion h(y) in einer Variablen y.
.
Jetzt leiten wir G(x ,.y) partiell nach y ab und setzen das
Ergebnis gleich N(x.y) :
Gy = 4 x * y + h' (y) = 4 * y ^ 3 + 4 x * y
Wir erhalten eine Gleichung für h' , nämlich:
h '(y) = 4 * y ^ 3, also:
h (y) = y ^ 4
(die Integrationskonstante darf null gesetzt werden)
Damit ist G(x,y) bekannt und mit der Beziehung
G(x,y) = C ( constans ) auch
die allgemeine Lösung der gegebenen Dgl., nämlich:
2 * x * y ^ 2 + x ^ 4 + y ^ 4 = C.
Soll y/0) = 1 gelten , muss C eins gesetzt werden, also lautet
die spezielle Lösung: nach einer kleinen Umstellung:
y ^ 4 + 2 * x * y ^ 2 + x ^ 4 - 1 = 0
Durch Auflösung dieser biquadratischen Gleichung in y
nach y^2 bezw. nach y erhält man die verlangte explizite
Darstellung der Lösung y(x).

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 08:09:   Beitrag drucken

Hi Benjamin,

In einem Nachtrag ermitteln wir noch den Definitionsbereich der
Lösung y = y(x)
Zunächst erhalten wir y^2 beim Auflösen der biquadratischen
Gleichung, nämlich
y ^ 2 (x) = - x + wurzel [d(x)] , mit d(x) = x^2 - x ^ 4 +1
Pluszeichen vor der Wurzel wegen der Bedingung y(0) = 1
Die Bedingung d(x) > = 0 ist erfüllt für
abs(x) < = wurzel [ ½ * (1+wurzel(5))] ~ 1,272
( goldener Schnitt!)
Wegen der Bedingung y ^ 2 > = 0 kommt:
-1.272 < = x < = 1 als Def.bereich.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Benjamin (Benni121)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 13:01:   Beitrag drucken

Super...besser geht es nicht....werde die Lösung vom Prof nächste Woche posten D A N K E
D A N K E D A N K E D A N K E D A N K E D A N K E

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