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Geometrie

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MmeMim
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Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 18:33:   Beitrag drucken

Wie lautet der Kosinussatz ohne Verwendung der trigonometrischen Funktionen? Bitte beweisen Sie diesen! (Euklid "Die Elemente" 2)
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 15:22:   Beitrag drucken

Hallo Madame Mim,
Siehe:
http://www.mathropolis.de/seite04.html
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Prinzessin22
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Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 13:10:   Beitrag drucken

Drücken sie das Volumen eines Rhombendodekaeders mit der Kantenlänge a in Abhängigkeit von a aus.Stellen sie dann eine Formel für den Oberflächeninhalt eines Rhombendodekaeders auf, in der ebenfalls nur a als Variable auftritt.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 19:32:   Beitrag drucken

Hi Prinzessin22,

Man erhält das Rhombendodekaeder der Kantenlänge a
aus einem Würfel der Kantenlänge w, indem man auf die
sechs Seitenflächen des Würfels sechs gerade Pyramiden
aufsetzt, deren Höhen mit der halben Kantenlänge ½ * w
einer Würfelkante übereinstimmen.
Nach Pythagoras gilt dann für a und w die Relation:
a^2 =( ½ * w ) ^2 + ( ½ * w* wurzel (2) )^2, also
a^2 = ¾ * w ^ 2 oder a = ½ *wurzel(3) * w, also :
w = 2 * a / wurzel(3)............................................................(1)

Da die Pyramidenseitenflächen mit den Würfelseitenflächen
je den Winkel 45° bilden, liegen die beiden an einer
Würfelkante zusammenstossenden Dreiecke
(Seitenflächen zweier benachbarter Pyramiden)
in einer gemeinsamen Ebene und bilden zusammen
einen Rhombus.

Anzahl e der Ecken, Anzahl k der Kanten, Flächenzahl f
e = 8+6 =14 , k =12 +12 = 24, f = 12 (griechisch : dodeka zwölf)
Es gilt auch hier: e-k+f = 2.

Volumen V und Oberfläche F , zunächst ausgedrückt durch
die Würfelkante w

Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Würfelvolumen V
und dem Gasamtvolumen von sechs aufgesetzten Pyramiden
V = w^3 + 6* 1/3 * w ^ 2 * w/2 = 2 * w ^ 3
Ersetzt man darin w gemäss der Gleichung (1)
durch a, so erhält man die gesuchte Volumenformel.

F setzt sich aus den Flächen von 24 gleichschenkligen
Dreiecken zusammen.
Höhe eines solchen Dreiecks: ½ * w* wurzel(2) ,Basis w,
mithin:
F = 24 * w^2 / 4 * wurzel(2) = 6 * w^2 * wurzel (2) oder
nach (1):
F = 8 * a ^ 2 * wurzel(2).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Merle (Prinzessin22)
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Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 19:28:   Beitrag drucken

Hallo H.R.Moser,

Vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe! :-)
Das hat mir wirklich sehr geholfen.

Sonnige Grüße aus Münster,
Prinzessin22
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Merle (Prinzessin22)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 19:33:   Beitrag drucken

Brauche ganz dringend noch eine Lösung:

Tragen sie möglichst viele begründete Eigenschaften über den dualen Körper zum Fußball (abgestumpfter Ikosaeder) zusammen.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 08:57:   Beitrag drucken

Hi Merle,

Eine Rückfrage
Kannst Du den in Betracht zu ziehenden Körper etwas
näher beschreiben !
Ist der im Folgenden beschriebene Körper, das
sogenannte abgestumpfte Ikosaeder, gemeint ?

Eine beliebige Ecke A eines regulären Ikosaeders bildet
die Spitze einer geraden fünfseitigen Pyramide ;
die Ecken der Grundfläche sind die zu A benachbarten Ecken
des Ikosaeders.
Eine solche Pyramide soll mittels einer Ebene abgeschnitten
werden
Der Restkörper ist der in Frage stehende Körper.
Er hat e = 11 Ecken, k = 25 Kanten und f = 16 Flächen
( wiederum e - k + f = 2 ).

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Merle (Prinzessin22)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 18:20:   Beitrag drucken

Hallo H.R.Moser,
bei dem Körper handelt es sich um einen Rhombendodekaeder(z.B wie eine Bienenwabe).Wir sollten feststellen warum das seckseck ein größeren Oberflächeninhalt hat bei gleichem Volumen.
Rhombendodekaeder ist ein Würfel mit sechs Pyramiden auf jeder Seite.
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Kerstin
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 15:26:   Beitrag drucken

Hallo!
Konstruiere denjenigen Punkt innerhalb des Dreiecks ABC mit a= 8cm b= 9cm, c= 10cm, von dem aus man alle Dreiecksseiten unter demselben Winkel sieht.

Evtl. mit dem Umfangswinkelsatz? Alle drei Seiten aus einem Blickwinkel bedeutet: 360°:3= 120°.
Der Winkel bei M würde dann 240° betragen. Schnittpunkt der Fastkreise wäre dann der gesuchte Punkt??
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 19:03:   Beitrag drucken

Hi Katja,

Jede der drei Seiten des Dreiecks soll vom gesuchten
Punkt P aus unter dem Winkel 120° eingesehen werden.
Daher ergibt sich P als Schnittpunkt der drei Ortsbogen
für den Winkl 120° über den drei Seiten

Gruss
H.R.Moser,megamath.
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Kerstin
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 11:18:   Beitrag drucken

Hi H.R.Moser!!
Demnach war mein Ansatz richtig?!!
Dankeschön für die schnelle Hilfe. Hier noch ´ne Aufgabe bei der ich mir nicht sicher bin:
Beim Umfangswinkelsatz betrachten wir den Spezialfall, daß M auf Strecke PA liegt. Beweisen Sie diesen Fall mit Hilfe des Außenwinkelsatzes im Dreieck.

Klar ist mir, daß sich daraus ein rechtwinkliges Dreieck ergibt( Satz des Thales). Aber wie beweise ich nun, daß der Winkel PMA doppelt so groß ist wie der Winkel PCA???
Gruß Kerstin
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 12:52:   Beitrag drucken

Hi Kerstin,

Wir nennen den Winkel PMA zeta; er spielt die Rolle eines Aussenwinkels
im gleichschenkligen Dreieck MAC.
Die beiden Basiswinkel dieses Dreiecks sind gleich gross, der eine ist
der Winkel gamma = Winkel PCA, der andere der Winkel MAC
Da der Aussenwinkel zeta gleich der Summe der nicht anliegenden
Innenwinkel des Dreiecks MAC ist , gilt
Zeta = gamma + gamma = 2 * gamma , w.z.b.w.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Merle (Prinzessin22)
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Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 19:53:   Beitrag drucken

Hallo zusammen,

habe mal wieder ein problem:
Aufgabe:
Zeigen Sie, bei einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor K wird jedes Dreieck auf ein Dreieck k^2-fachen Flächeninhaltes abgebildet.
( Das gilt auch für jedes andere Flächenstück)

Wer kann mir helfen?
Greetings,....
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Lerny
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Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 20:22:   Beitrag drucken

Hallo Merle

Sei ABC ein Dreieck mit den Seiten a,b und c und der Höhe h auf c.
Dann gilt für den Flächeninhalt dieses Dreiecks
A=1/2*c*h

Durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k wird
c'=k*c und
h'=k*h
Für den Flächeninhalt des Bilddreiecks gilt somit
A'=1/2*c'*h'
=1/2*(k*c)*(k*h)
=1/2*k*k*c*h
=1/2*k²*c*h

Also A'=k²*A

mfg Lerny
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Niels
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Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 20:42:   Beitrag drucken

Hallo Merle,

ich finde am besten lässt sich die Relation

A'=A*k^2

an einem Rechteck zeigen:

a, b...Seitenlängen vom Rechteck(Dreieck)
k...Streckungsfaktor
A'..Fläche der Bildfigur
A...Fläche der Originalfigur

A'=a*k*b*k=a*b*k^2
A=a*b
=>

A'/A=k^2

=>

A'=A*k^2
==============================
Beim Dreieck ließe sich dies Analog zeigen:

A'=1/2a*k*b*k*sinc=1/2a*b*k^2*sinc
A=1/2a*b*sinc

A'/A=k^2
=>
A'=A*k^2

Gruß N.

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