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Jens
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 16:14: | 
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Hallo, kann mir jemand bei diesem Induktionsbeweis helfen. Ich bekomme es einfach nicht hin.
Man zeige mit vollständiger Induktion:
2n*Produkt von k=2 bis n (1 - (k hoch -2)) hoch k = (1+(1/n)) noch n
Grüsse, Jens |
e
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 19:28: |
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beides ist e, stimmt... |
Jens
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 21:03: |
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Das hilft mir leider auch nicht weiter... |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 21:46: |
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Hallo :
Bezeichne die linke Seite mit P(n), die rechte mit E(n). Rechne dann nach, dass
P(n)/P(n-1) = [n/(n-1)](1-1/n^2)^n = E(n)/E(n-1).
P(n) und E(n) genŸgen also derselben Rekursion.
Wegen P(2) = E(2) gilt somit P(n) = E(n) fŸr
alle n >= 2 .
Gruss
Hans |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 21:48: |
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Hallo Jens
Tut mir leid, dass ich zu faul war, dass mit Staroffice oder LaTeX zu machen, hoffe die Rechnung ist trotzdem lesbar:
Zunächsts mal wird häufig verwendet: 1+1/n=(n+1)/n und (1-k-2)=1-1/k²=(k²-1)/k²=(k+1)(k-1/k²
n->n+1:
2(n+1)Pk=2k=n+1((1+k)(1-k)/k²)k
Wir möchten gern die Induktionsvoraussetzung af den Term mit n anwenden. Standardmäßig spalten wir den letzten Faktor ab. Es bleibt aber noch ein Problem, dass wir den falschen Vorfaktor haben, also spalten wir den Term in zwei Summanden auf:
2n(Pk=2n(1-1/k²)k)(n(n+2)/(n+1)²)n+1 + 2(Pk=2n((1+k)(1-k)/k²)k)(n(n+2)/(n+1)²)n+1
Für den linken Term können wir direkt die Induktionsvoraussetzung anwenden, beim rechten scheint es zunächst mal nicht möglich, aber wir können ja die Induktionsgleichung durch n dividieren, und dann steht hier die linke Seite und wir können die rechte Seite einsetzen; der Rest sind Rechengesetze:
((n+1)/n)n*(n(n+2)/(n+1)²)n+1+1/n*((n+1)/n)n*(n(n+2)/(n+1)²)n+1
Der linke Summand taucht auf der rechten Seite mit dem Vorfakto 1/n auf, wir können also ausklammern (und mit weiteren Umformungen):
=(1+1/n)*(n+1)n*(n(n+2))n+1/(nn*(n+1)2n+2)
=((n+1)/n) * n *(n+2)n+1/((n+1)n+2)
=((n+2)/(n+1))n+1=(1+1/(n+1))n+1
was zu beweisen war.
viele Grüße
SpockGeiger |
Jens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 17:28: |
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Hey, danke SpockGeiger! Ich habs geschnallt. War zwischendurch etwas trickreich fand ich, aber ich bin durchgestiegen.
Grüße,
Jens |
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