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Maria
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 12:38: | 
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Hallo liebes Orakel ;-)
Ich bin am verzweifeln, dennn ich weiß nicht wie ich Stetigkeit zeigen soll.
folgendes Problem:
Zeigen Sie das die Funktion f nur an der Stelle x0 = 1/2 stetig ist.
f(x) = x wenn x rational ist und andernfalls (x-1)
ich bin für jede auch noch so kleine Hilfe wirklich dankbar
Grüße
Maria |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 15:37: |
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Hallo :
Ich nehme an, es heisst
f(x):= x wenn x in Q , f(x):= 1-x wenn x in R-Q.
(a) Sei x_0 <> 1/2. Jede Umgebung von x_0 enthaelt
unendlich viele rationale wie irrationale x_n.
Waehlen wir eine gegen x_0 konvergierende rationale Testfolge (x_n), so gilt
lim f(x_n) = lim x_n = x_0.
Hingegen gilt fŸr eine irrationale Testfolge
lim f(x_n) = lim (1-x_n) = 1-x_0 <> x_0.
Also ist f bei x_0 unstetig.
(b) f(1/2) = 1/2. Also
|f(x) - f(1/2)| = |x - 1/2| wenn x in Q,
|f(x) - f(1/2)| = |1-x-1/2| = |x - 1/2| sonst.
Sei eps > 0 gegeben. Dann gilt fŸr alle x
(gleichgŸltig ob rational oder nicht) mit
|x-1/2| < eps : |f(x) - f(1/2)| < eps.
Das besagt :
lim[x->1/2]f(x) = f(1/2)
d.h. f ist bei 1/2 stetig.
Gruss
Hans |
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