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Franziska
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 14:54: | 
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Also ich hab ein riesenproblem, wahrscheinlich ist die Lösung ganz einfach aber ich komm einfach nicht drauf: Ein Frachter hat 1000 Kisten geladen, die von 1-1000 durchnummeriert sind. Es sollen die Kisten wie folgt mit Kreuzen versehen werden: im ersten Durchgang bekommt jede Kiste ein Kreuz, im zweiten jede zweite im dritten jede dritte usw.
wieviele Kisten haben eine ungerade Anzahl von Kreuzen bzw. haben genau vier Kreuze? Sehr wichtig, ich sitze total auf dem Schlauch. |
sonny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 19:42: |
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hallo Franziska,
ich möchte dir erst mal beim 1. Teil helfen, vielleicht geht dir dann beinm rest ein Licht auf!
Alle Kisten, die kein kreuz bekommen, bekommen dafür eine O. Auf jeder kiste sind somit 1000 X und 0-en. die anzahl der Kisten mit 4 Kreuzen ist die gleiche Frage wie : Wieviele Möglichkeiten gibt es 4 schwarze und 9996 weiße Kugeln anzuordnen?
1000!/(4!996!)
sonny |
Xell
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 20:40: |
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Liebe Franziska!
Eine etwas andere Betrachtungsweise von mir:
Dein Problem mit den vier Kreuzen ist äquivalent zu folgendem Problem:
"Wie viele Zahlen zwischen 1 und 1000 besitzen genau vier Teiler?"
bzw. bei der ungeraden Anzahl der Teiler:
"Wie viele Zahlen zwischen 1 und 1000 besitzen eine ungerade Anzahl (2n+1) Teiler?"
zu sonny: 1000!/(4!×996!) soll doch wohl nicht die Lösung sein?
Das ist jedenfalls deutlich größer als 1000, was ja max. ist!
Oder hab ich dich da falsch verstanden?
Bitte um Klärung...
mfG, Xell :-) |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 23:09: |
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ja genau, Xell. Denn eine Kiste bekommt ja "von jedem Teiler" ihrer Nummer ein Kreuz.
Also, die Frage, wieviele Zahlen <=1000 besitzen ungerade Anzahl von Teilern.
m = p1^r1 * p2^r2 * ... * pn^rn sei Primfaktorzerlegung einer Zahl m.
Diese Zahl m besitzt genau (r1+1)*(r2+1)...*(rn+1) Teiler, denn einen Primfaktor pi^ri kann der Teiler genau 0,1,2,..,ri mal enthalten.
Eine Zahl m besitzt also genau dann ungeradzahlig viele Teiler, wenn (r1+1)*(r2+1)...*(rn+1) ungerade ist, bzw. r1,r2,...,rn alle gerade sind.
Sind aber r1,r2,...,rn gerade, ist m eine Quadratzahl (siehe Primfaktorzerlegung). Außerdem sind r1,r2,...,rn gerade, wenn m Quadratzahl ist.
(auch klar).
Also genau die Quadratzahlen erhalten ungeradzahlig viele Kreuze, und das sind ja <1000 genau |sqr(1000)|=31. |
Martin&Xell
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. April, 2001 - 02:35: |
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Hallo Leser!
zu Carmichael: Wir haben uns das Problem mal genauer angeguckt und können dein Ergebnis von 31 nur bestätigen.
zu Franziska: Da die Frage, welche Kisten denn nun genau vier Markierungen hätten, noch immer offen ist, werden wir sie dir beantworten:
Alle Kisten mit Kisten-Nummern, welche Kubikzahlen sind bzw. von der Form Knr=p×q<1000 mit p,q prim und p¹q weisen genau vier Markierungen auf. Es sind insgesamt 292 Kisten.
mfG, Martin & Xell :-)
P.S.: Interessantes Problem, mehr davon! |
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