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ariane
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 15:51: | 
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Hallo,
noch mal zu den Anfängen in der Gruppentheorie:
Sei autG die Gruppe der Automorphismen auf G.
Cn wieder multiplikativ geschrieben Z/nZ mit Z Menge der ganzen Zahlen.
z.B. C5 = {1, a, a^2,..a^5}
hier íst autC5 lt. Vorlesung = {id,x->x^2,x->x^3, x-> x^4} Leuchtet mir ja ein, aber was ist mit
x-> x^6?
Wir haben dann zur Aufgabe gestellt bekommen AutC20 und AutC8 zu bestimmen. Als Hinweis haben wir bekommen, dass AutC20 8 Elemente hat (Habe ich auch gefunden, aber hier wieder die Frage: es gibt doch bestimmt noch mehr?!)
und dass AutC8 nicht zyklisch ist. Wenn die anderen zyklisch sind, würde das ja erklären, warum ich höhere Potenzen nicht mehr nehmen muss, aber woher weiss ich ob die "auts" zyklisch sind, oder nicht? Und wann weiss ich dann zum Bsp. bei AutC8, dass ich alle Elemente habe?
Bin ich zu bescheuert für Gruppentheorie?
Danke Ariane |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 13:34: |
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Der Einfachheit halber schreibe ich Cn= Z/nZ = {0,1,2,....,n-1} additiv.
Ein Automorphismus F von Cn nach Cn muss das erzeugende Element 1 wieder auf ein erzeugendes Element abbilden. Andererseits ist ein Automorphismus definiert, wenn bekannt ist, auf welches Element die 1 abgebildet wird(bedenke
F(x)^k = F(x^k) für alle k E IN).
Z/nZ hat aber genau phi(n) (Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen <n) erzeugende Elemente.
Also gibt es phi(n) Automorphismen von Cn.
Für Automorphismus F mit F(1) = a gilt für alle x E Cn:
F:x->a+a+a+..(x-mal halt) also x->a*x;
Die Gruppe AutCn ist damit isomorph zu
((Z/nZ)*,mal).
Die ist im übrigen zyklisch, genau dann wenn n von der Form p^k oder 2*p^k mit p ungerade Primzahl und k E IN. (siehe Zahlentheorie:Primitive Kongruenzwurzel für Injektivität)
noch ein Hinweis:
sei n=p1^k1 * p2^k2 * ... * pi^ki die Primfaktorzelegung von n.
dann gilt
phi(n) = (p1-1)*(p2-1)*...*(pi-1)*p1^(k1-1)*
*p2^(k2-1)*...*pi^(ki-1);
deshalb hat AutC20 auch 8 Elemente, denn
phi(20)= (2-1)*(5-1)*2 = 8; |
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