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Ordnung eines Elements

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ariane
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Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 14:49:   Beitrag drucken

Hallo,
höre gerade zum ersten mal von Gruppentheorie und komme noch nicht so ganz zurecht.
Cn seien Z/nZ (Z=Menge der ganzen Zahlen) multiplikativ geschrieben.
z.B. C3 = {1, a, a^2} = <a> also C3 erzeugt von a, da die Elemente von C3 die Potenzen von a.
o(a) ist die Ordnung von a aus G(Gruppe), definiert als die kleinste Zahl n mit a^n = 1.
Wir sollen nun die Ordnung eines jeden Elements aus C24 bestimmen.
Meine Gedanken dazu:
C24 = {1,a,...a^23)
o(1)=1
o(a)=24
o(a^2)=12
o(a^3)=8
o(a^4)=6
o(a^5)= häääääää
ich glaube ich muß das mit der Ordnung doch falsch verstanden haben, oder?
Bitte vielmals um Hilfe!

Ariane
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 16:47:   Beitrag drucken

Hallo ariane,

lies mal http://www.math.tu-clausthal.de/~mace/ws99/la1/gruppen.pdf

und auch http://www.linslernet.de/crypt_math.htm hilft weiter. (Abschnitt:
Primzahlen und zyklische Gruppen).

Wichtig ist: Nicht jedes aeG erzeugt die gesamte Gruppe. Das ist nur der Fall, wenn n eine Primzahl ist. In C24 ist z.B. 12*12 = 1, d.h. der Rang der 12 ist 2.

Die zyklischen Gruppen sind isomorph zu den Restklassengruppen modulo n von Z. Man kann also die Verknüpfung auch additiv darstellen. Wenn 12*12=1 seltsam scheint, dann ist aber klar, dass in Z/24Z gilt 12 + 12 = 0.

Gruß
Matroid
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ariane
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 11:29:   Beitrag drucken

1000 Dank!

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