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Potentialfunktion eines vektorfeldes

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pepe
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Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 10:35:   Beitrag drucken

hallo!
ich habe probleme bei der folgenden rechnung:
und zwar soll ich zum vektorfeld
Vektor,F(vektor,r)=r^n*vektor,r
mit r=betrag von vektor,r
die potentialfunktion phi angeben

ich weiß zwar ungefähr wie ich vorzugehen habe, doch hab ich bei der integration enorme probleme...

wäre spitze wenn mir jemand helfen könnte!
danke im vorhinein
mfg pepe
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 09:03:   Beitrag drucken

Hallo :

Ich bezeichne den Vektor r lieber mit r und seinen
Betrag mit |r|. Dann verstehe ich das so, dass

F(r) := |r|^n*r ,

wobei n eine gegebene Konstante ist. Gesucht ist
dann eine Funktion U(r), sodass F(r) = - grad U
d.h.

F_x = - D_x U, F_y = - D_y U , F_z = - D_z U

wobei D_x etc. partielle Ableitung bezeichnet.
Dann ist (soweit ich mich erinnere, denn das
liegt mir schon ziemlich fern)

U(r) = U(r_0) - Int[r_0,r]F(r) dr.

Dabei ist r_0 ein fester, r ein variabler Punkt.
Als Integrationsweg kann man einen Polygonzug
nehmen, dessen 3 TeilstŸcke parallel zu den
Koordinatenachsen verlaufen.
Bevor ich weiter rechne, musst Du mir mal sagen,
ob ich soweit richtig liege.

Hans
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pepe
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 13:44:   Beitrag drucken

hallo hans
danke erst mal! ja, ich würde schon sagen, dass du soweit richtig liegst.
zu dem integral:
also mein erster rechenschritt würde dann
U(r)= -Int(dx x*(squrt(x^2+y^2+z^2))^n)
sein? wenn ich das integral lösen könnte (*g*, weil des hab i net ganz gschafft, ich glaube nicht das meine integration da richtig war) hättte ich dann als integrationskonstante eine funktion, f(y,z)...
also ich würde das ganze mit diesem flip-flop verfahren lösen. kann das stimmen?
könntest du mir vielleicht deinen integrationsweg aufschreiben? das wäre hilfreich. danke

pepe
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pepe
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 13:58:   Beitrag drucken

hi, ich nochmal *g*
jetz hab ich ja gerade entdeckt was ich eigentlich für ein koffer bin! das integral kann man ja ganz einfach mit substitution lösen (zb.: u=x^2+y^2+z^2), oder? ich werd das jetzt schnell mal versuchen. kann das so stimmen?

mfg pepe
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pepe
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 14:26:   Beitrag drucken

sodala:
also jetz hab ich das so zu rechnen probiert. die potentialfunktion die ich erhalte lautet:
U(x,y,z)= -IrI^((n+2)/2)*(1/(n+2))-y-z+c
ich hoffe mal das stimmt. oder bekommst du etwas anderes heraus?
wünsche dir einen schönen tag,

mfg pepe
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 21:22:   Beitrag drucken

Hallo :

Der Integrationsweg verlaeuft so :

(x_0,y_0,z_0)---(x,y_0,z_0)---(x,y,z_0)---(x,y,z)

Wenn man die 3 Integrale ausrechnet (elementar),
so heben sich 4 Terme gegeneinander weg, und es bleibt (nach meiner Rechnung in der Strassenbahn)

U(r) = U(r_0) - (n+2)^(-1)[|r|^(n+2)-|r_0|^(n+2)]

was man durch Gradientenbildung unmittelbar
verifiziert. Das gilt natŸ¬rlich n ur fŸr n<>-2,
fŸr n=2 gibt's einen log-Term.

Gruss

Hans
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pepe
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Veröffentlicht am Montag, den 30. April, 2001 - 15:33:   Beitrag drucken

hallo hans!

erstmal danke für deine hilfe! und, äh, was? du rechnest in der straßenbahn?! wow!

falls es dich interessiert, hab heut noch von einer anderen möglichkeit die aufgabe zu lösen gehört:

und zwar kann man wenn U nur von r, und nicht von theta und phi abhängt, wie das in diesem beispiel der fall ist, schreiben:
F(r)=-gradU=-dU/dr*r/IrI

dann hat man also die gleichung

IrI^n*r=-du/dr*r/IrI

--> IrI^(n+1)= -dU/dr

und U also gleich: -int(r^(n+1)dr)

also U= -1/(n+2´)*IrI^(n+2)+c

ja, also so haben wir das heute gerechnet.

schönen tag!

mfg pepe

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