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Xavier
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 16:11: | 
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Es sei V=C(R) der Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren
reellen Funktionen f: R->R, x->f(x).
a)
Berechnen sie in V den Lösungsraum des homogenen linearen Differential-
gleichungsstems
(-1 0 0)
( 1 -4 -3)= A
(-1 6 5)
(y1,y2,y3)= y
y' = A*y
b)
Berechnen Sie alle Lösungen des inhomogenen linearen DGL-systems
y' = A*y+x
mit x=(x1,0,0)
Noch einmal Danke, Xavier! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 09:22: |
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Hallo :
a) Die Eigenwerte von A sind -1 (doppelt) und 2.
Leider ist -1 ausgeartet, d.h. es ist nicht
moeglich A zu diagonalisieren. Mittels
U:=[[1 0 0],[0 -1 1],[0 1 -2]] ==>
U^(-1) = [[1 0 0],[0 -2 -1],[0 -1 -1]]
(lies zeilenweise) erreicht man nur
U^(-1) A U = J
:= [[-1 0 0],[-1 -1 0],[0 0 2]].
Setze y = U w, dann erhaelt man fŸr w das einfachere System
w' = J w
dessen allgemeine Loesung man leicht abliest:
w = C_1*e^(-t)*(1,-t,0)^T + C_2*e^(-t)*(0,1,0)^T
+ C_3*e^2t*(0,0,1)^T
(^T heisst "transponiert").
b) Zur allgemeinen Loesung der homogenen Gl. (s.o.) tritt eine partikulaere Loesung der
inhomogenen Gl. additiv hinzu. Die transformierte
Gleichung heisst w' = J w + (x_1,0,0)^T und man
sieht, dass w = (x_1,0,0) eine part. Loesung ist.
Rechne bitte alles nach !
Gruss
Hans |
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