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A^2+b^2+c^2=u^2

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Algebra » A^2+b^2+c^2=u^2 « Zurück Vor »

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simplex
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 03:53:   Beitrag drucken

Hi
zu lösen (x,y,z,u natürliche Zahlen) ist

4^x + 4^y + 4^z = u^2

Kann jemand alle Lösungen angeben ?
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Roberto Neumann (Ceagle)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Mai, 2001 - 15:23:   Beitrag drucken

Huhu!
Ich weiss nicht, ob´s alle Loesungen beinhaltet, aber zwei Bedingungen, um anscheinend auf jeden Fall ein richtiges Ergebnis zu bekommen, ist:
x=y, z=x-1
Also z.B.:
4^3 + 4^3 + 4^2 = 12^2
4^19 + 4^19 + 4^18 = 786432^2

Ich glaub sogar, es ist imma dann ´ne Loesung, wenn der Durchschnitt von x, y und z ´ne "2/3"-Kommazahl ist.
z.B.:
(3+3+2)/3 = 2,66
(19+19+18)/3 = 18,66
(3+5+6)/3 = 4,66

4^3 + 4^5 + 4^6 = 72^2

Die ca. 10 Versuche meinerseits waren jedenfalls alle erfolgreich :)

Bis denn, c-eAGLE
www.c-eAGLE.com
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Xell
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 01:54:   Beitrag drucken

Hi Simplex!

Zu deiner Gleichung aus der Überschrift

a² + b² + c² = u²

Dazu gibt es natürlich unendlich viele Lösungen, da es zum Satz des Pythagoras unendlich viele Lösungen gibt.
Für v² = a² + b² gibt es unendlich viele Lösungen, folglich auch für v² + c² = u², folglich (ist äquivalent mit) auch für die Ausgangsgleichung.

Bsp: 3² + 4² + 12² = 13²

Das nur am Rande...
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

mfG, Xell :-)
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 15:07:   Beitrag drucken

Hallo simplex,

sei o.B.d.A. x>=y>=z;
aus 4^x + 4^y + 4^z = u^2 folgt:
4^(x-z) + 4^(y-z) + 1 = (u/2^z)^2;
a:= x-z; b = y-z;
also:
(1) (2^2b)*(4^(a-b) + 1) + 1 = m^2 mit m E IN;
m ist offensichtlich ungerade und besitzt damit folgende Darstellung: m = (2^d)*k +- 1 mit k ungerade und d >=2
=>m^2 = (2^2d)*k^2 +- k*2^(d+1) + 1 =
= [2^(d+1)]*(2^(d-1)*k^2 +- k) + 1;
2^(d-1)*k^2 +- k ist wegen d>=2 und k ungerade sicher ungerade.
wegen (1) muss daher gelten:
2^2b = 2^(d+1); => 2b-1 = d;
damit:
4^a + 4^b + 1 = m^2 = (2^d*k +- 1)^2 > 2^(2d-2) + 1 = 4^(2b-2) + 1;

=> a >= 2b-2;


1. Fall: a=2b-2;
also: 4^(2b-2) + 4^b +1 = m^2;
dies ist aber nicht möglich, denn
(4^(b-1)+2)^2 > 4^(2b-2) + 4^b +1 > (4^(b-1)+1)^2;
2. Fall: a = 2b-1;
dieser Fall liefert Lösungen, denn:
4^(2b-1) + 4^b +1 = (2^(2b-1)+1)^2; (*)
3. Fall: a>2b-1;
hier wieder keine Lösungen, denn:
(2^a+1)^2 - (2^a)^2 > 4^b + 1 für a>2b-1
und damit:
(2^a)^2 < 4^a + 4^b + 1 < (2^a+1)^2

für alle Lösungen gilt also: a = 2b-1 bzw.
x-z = 2y-2z-1; <=> z = 2y-x-1;
Alle Lösungstripel (x,y,z) haben also die Form (u,v,2v-u-1) und alle Tripel dieser Form sind Lösungen(u,v beliebig E IN).
[4^u + 4^v + 4^(2v-u-1) = (2^u + 2^(2v-u-1))^2; ]

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