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simplex
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 03:53: |
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Hi zu lösen (x,y,z,u natürliche Zahlen) ist 4^x + 4^y + 4^z = u^2 Kann jemand alle Lösungen angeben ? |
Roberto Neumann (Ceagle)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Mai, 2001 - 15:23: |
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Huhu! Ich weiss nicht, ob´s alle Loesungen beinhaltet, aber zwei Bedingungen, um anscheinend auf jeden Fall ein richtiges Ergebnis zu bekommen, ist: x=y, z=x-1 Also z.B.: 4^3 + 4^3 + 4^2 = 12^2 4^19 + 4^19 + 4^18 = 786432^2 Ich glaub sogar, es ist imma dann ´ne Loesung, wenn der Durchschnitt von x, y und z ´ne "2/3"-Kommazahl ist. z.B.: (3+3+2)/3 = 2,66 (19+19+18)/3 = 18,66 (3+5+6)/3 = 4,66 4^3 + 4^5 + 4^6 = 72^2 Die ca. 10 Versuche meinerseits waren jedenfalls alle erfolgreich Bis denn, c-eAGLE www.c-eAGLE.com |
Xell
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 01:54: |
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Hi Simplex! Zu deiner Gleichung aus der Überschrift a² + b² + c² = u² Dazu gibt es natürlich unendlich viele Lösungen, da es zum Satz des Pythagoras unendlich viele Lösungen gibt. Für v² = a² + b² gibt es unendlich viele Lösungen, folglich auch für v² + c² = u², folglich (ist äquivalent mit) auch für die Ausgangsgleichung. Bsp: 3² + 4² + 12² = 13² Das nur am Rande... °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° mfG, Xell :-) |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 15:07: |
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Hallo simplex, sei o.B.d.A. x>=y>=z; aus 4^x + 4^y + 4^z = u^2 folgt: 4^(x-z) + 4^(y-z) + 1 = (u/2^z)^2; a:= x-z; b = y-z; also: (1) (2^2b)*(4^(a-b) + 1) + 1 = m^2 mit m E IN; m ist offensichtlich ungerade und besitzt damit folgende Darstellung: m = (2^d)*k +- 1 mit k ungerade und d >=2 =>m^2 = (2^2d)*k^2 +- k*2^(d+1) + 1 = = [2^(d+1)]*(2^(d-1)*k^2 +- k) + 1; 2^(d-1)*k^2 +- k ist wegen d>=2 und k ungerade sicher ungerade. wegen (1) muss daher gelten: 2^2b = 2^(d+1); => 2b-1 = d; damit: 4^a + 4^b + 1 = m^2 = (2^d*k +- 1)^2 > 2^(2d-2) + 1 = 4^(2b-2) + 1; => a >= 2b-2; 1. Fall: a=2b-2; also: 4^(2b-2) + 4^b +1 = m^2; dies ist aber nicht möglich, denn (4^(b-1)+2)^2 > 4^(2b-2) + 4^b +1 > (4^(b-1)+1)^2; 2. Fall: a = 2b-1; dieser Fall liefert Lösungen, denn: 4^(2b-1) + 4^b +1 = (2^(2b-1)+1)^2; (*) 3. Fall: a>2b-1; hier wieder keine Lösungen, denn: (2^a+1)^2 - (2^a)^2 > 4^b + 1 für a>2b-1 und damit: (2^a)^2 < 4^a + 4^b + 1 < (2^a+1)^2 für alle Lösungen gilt also: a = 2b-1 bzw. x-z = 2y-2z-1; <=> z = 2y-x-1; Alle Lösungstripel (x,y,z) haben also die Form (u,v,2v-u-1) und alle Tripel dieser Form sind Lösungen(u,v beliebig E IN). [4^u + 4^v + 4^(2v-u-1) = (2^u + 2^(2v-u-1))^2; ] |
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