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Orthogonaler Endomorphismus

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mia
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 20:30:   Beitrag drucken

Es sei V ein Euklidischer Vektorraum
und phi: V -> V eine Abbildung mit
||phi(x)-phi(y)|| = ||x-y|| für alle x,y aus V.

zu zeigen ist:
Gilt phi(0)=0, dann ist phi ein orthogonaler Endomorphismus von V.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 07:49:   Beitrag drucken

Hallo :

Nach Annahme ist in V eine positiv
definite Bilinearform (x,y) definiert, und es gilt

||x|| = sqrt((x,x)).

Wegen phi(0) = 0 folgt weiter aus der Voraussetzung (setze y = 0) :

||phi(x)|| = ||x|| fŸr alle x in V, also

||phi(x) - phi(y)||^2

= ||phi(x)||^2 + ||phi(y)||^2 - 2*(phi(x),phi(y))

= ||x||^2 + ||y||^2 - 2*(phi(x),phi(y)).

Andererseits ist

||x - y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2 - 2*(x,y),

somit

(phi(x),phi(y)) = (x,y) fŸr alle x,y in V.

Das war zu zeigen.

Gruss

Hans

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