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Untersuche auf Konvergenz

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firepower (firepower)
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Neues Mitglied
Benutzername: firepower

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 09:19:   Beitrag drucken

Hallo allerseits,

hab folgende Aufgabe:

Untersuche auf Konvergenz:

Summe n=1 -> Unendlich n^5/n!

Weiß jemand Rat?
Danke schonmal
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Christian Schmidt (christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 677
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 04. November, 2002 - 13:17:   Beitrag drucken

Hi firepower

Das bis jetzt immer noch keiner geantwortet hat, werde ich mal eine Lösung posten, die aber wie ich finde nicht besonder elegant ist.

Man kann das mit dem Quotientenkriterium machen:
Quotientenkriterium ist:
Sei (an) eine Folge nichtnegativer, reeller Zahlen.
Existiert ein 0£q<1 und ein N aus N mit
an+1£qan
für N£n aus N, so ist die Reihe San konvergent.

Jetzt bei deiner Folge:
(n+1)^5/(n+1)!£q*n^5/n!
((n+1)/n)^5/(n+1)£q
(n+1)^4/n^5£q

Wie man sieht ist die Folge auf der linken Seite monoton fallend und für n³4 kleiner also 1.
Setze also q=5^4/4^5=625/1024
und N=4. Damit ist bewiesen, dass deine Reihe konvergiert.

MfG
C. Schmidt
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firepower (firepower)
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Neues Mitglied
Benutzername: firepower

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 04. November, 2002 - 14:02:   Beitrag drucken

Danke
ich bin zwischenzeitlich auf das hier gekommen, ist aber das gleiche:

Sei sn = Summe n^5 / n!
(Quotientekriterium)
Dann ist

lim sn+1 / sn = lim ( (n+1)^5 * n! ) / (n^5 * (n+1)! ) = lim ( (n+1)/n )^5 * 1/(n+1) und das ist echt kleiner 1 für alle n >= 4


Danke für deine Hilfe :-)

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