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Rebekka (rebmalten)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 118
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 09:37: | 
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Hi Ihr,
auf unserem letzten Übungszettel hatten wir die folgende Aufgabe:
Ein beliebig dehnbares Gummiband der Anfangslänge 1m sei an einem Ende fest eingespannt. Zum Zeitpunkt t = 0 startet eine Fliege (zu Fuß) an diesem Bandende und läuft mit konstanter Geschwindigkeit vF gegen ihren momentanen Untergrund auf dem Band in Richtung des freien Endes los. Gleichzeitig wird das freie Bandende mit ebenfalls konstanter Geschwindigkeit vB vom Eingespannten weggezogen.
a) Erreicht die Fliege das freie Ende immer, manchmal oder nie?
b) Errechnen Sie geegebenenfalls für vF = 10 cm/sec und vB = 10*vF, wann das Ende erreicht wird.
Zu a) habe ich mir überlegt, daß sie das Ende z.B. erreichen kann, wenn vB = 0, also habe ich nie schon mal ausgeschlossen.
Bei b) habe ich über Rumprobieren erst eine rekursive Formel für die Strecke, die die Fliege nach t sec zurückgelegt hat (=: S(t)), dann diese explizite Darstellung zurechtgefummelt:
S(t) = 1/10 * Sn t=1 t+1/t
Mir ist klar, daß dadurch kein kontinuierlicher Bewegungsablauf der Fliege gegeben ist, aber rein theoretisch müßte man doch jetzt 'nur' S(t) mit der Bandgleichung B(t) = t+1 gleichsetzen, dann hätte man den Zeitpunkt, an dem die Fliege am Bandende angelangt ist. Aber genau das bekomme ich nicht hin!! Außerdem hätte dieser Ansatz leider rein gar nichts mit DGl's zu tun... und da wir gerade damit angefangen haben, wäre es schön, wenn sich jemand sowohl mit meinem Ansatz auseinandersetzen als auch die Aufgabe 'richtig' beenden könnte. Wir haben nämlich noch keine Tutoren, daher auch keine Übungsgruppen und deshalb bis jetzt noch keine Musterlösungen der Zettel (natürlich erst recht keine Korrekturen :-((
Schon mal ganz vielen Dank im Voraus!
Gruß
Reb
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 111
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 10:29: |
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Hallo Rebekka!
Zu a)
Es gilt allgemein:
s=v*t
für Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit.
Wenn vB größer ist als vF ist die Streckenverlängerung größer als der zurückgelegte Weg der Fliege im selben Zeitintervall.
=> Die Fliege kann das Ziel nie erreichen.
Wenn vB und VF gleich wären,würde die Fliege also "auf der Stelle" stehen.
Wenn vB kleiner ist als vF ist die Streckenverlängerung kleiner als der zurückgelegte Weg der Fliege im selben Zeitintervall.
=> Die Fliege erreicht früher oder später das Ziel.
Aufgebenteil b) macht also keinen Sinn.
Gruß,Olaf |
Rebekka (rebmalten)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 119
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 12:18: |
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Hi Olaf,
erstmal danke für Deine Mühe! Ich glaube aber, daß Du übersehen hast, daß die Fliege AUF dem Band, nicht daneben, läuft; ihr Vorankommen wird also durch die Dehnung des Bandes mit beeinflusst. Falls ich Dich falsch verstanden haben sollte, schreib doch bitte nochmal genauer, wie Du das meinst!
Gruß
Reb
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 112
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 12:32: |
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Hi Rebekka!
Vergiss bitte meine Lösung.Ist ja nicht klar,daß die Verlängerung ausschließlich VOR
der Fliege stattfindet.Also würde ja ein Teil der Verlängerung auf das Seilstück HINTER
der Fliege fallen,was die Fliege ja dann nicht mehr zurüchlegen müßte.
Wenn ich Zeit hab,versuch ichs später nochmal.
Das die Fliege auf dem Band läuft war mir schon klar.
Also ich habe die Aufgabe so verstanden,daß sich nur der verlängerte Weg auswirkt.War das falsch?
Gruß,Olaf
(Beitrag nachträglich am 31., Oktober. 2002 von heavyweight editiert) |
Rebekka (rebmalten)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 120
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 14:47: |
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Hi!
Ja, das war 'falsch'. Ich glaube, es ist so gemeint, daß das Gummiband sich - wie jedes gewöhnliche - komplett (sowohl hinter als auch vor der Fliege) dehnt, wenn man daran zieht. Habe allerdings an dieser Aufgabe auch schon Stunden gesessen  (ich finde einfach die Vorstellung dieser zu Fuß zum Ziel stapfenden Fliege so niedlich...)
Gruß
Reb
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Rebekka (rebmalten)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 15:49: |
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...bei meiner tollen selbstgebastelten Summe oben meinte ich natürlich
S(t) = 1/10 * St i=1 i+1/i
Reb
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 17:23: |
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Hi Rebekka!
Mit einer "richtigen" mathematischen Lösung kann ich leider nicht dienen,aber ich schreib
Dir einfach mal meine Gedanken:
Ich gehe davon aus,daß das Band gleichmäßig gedehnt wird.
Die Fliege sitze nun ohne sich selbst fortzubewegen auf der Mitte des Bandes.
Zieht man dieses auf seine doppelte Länge,sitzt sie dort aber immer noch,die Strecke
ändert sich also,die Geschwindigkeit aber offensichtlich im gleichen Verhältnis.
Allgemein kann man also sagen,egal wie lang man das Band zieht,die Fliege hat immer
den gleichen Anteil des Gesamtweges zurückgelegt.Ob sie sich von diesem Ort entfernt,
hängt offensichtlich jetzt von ihrer Eigengeschwindigkeit ab.
Wenn diese Vorhanden ist,müßte sie theoretisch immer das Ziel erreichen.
Berechnungen könnte man dann einfach mit der Formel s=v*t durchführen.
Also:
sF=vF*t
Wobei
vF: Eigengeschwindigkeit der Fliege
sF: Ortsänderung,die die Fliege durch ihre Eigengeschwindigkeit erreicht.
Wenn die Fliege sich mit vF=10cm/sec fortbewegt,also für 10cm 1 Sekunde benötigt,dann
müßte sie also nach 10 Sekunden die Strecke von einem Meter zurückgelegt haben.
Meiner Meinung nach muß also nur der Ortswechsel der Fliege im Verhältnis zur
Gesamtstrecke berücksichtigt werden.
Ist gedanklich wohl schwer nachzuvollziehen,erscheint mir aber logisch.
(Ein Band,daß mit konstanter Geschwindigkeit unendlich gedeht wird ist ja auch schwer
vorzustellen.)
Ansonsten würde mir auch nichts mehr einfallen...
Gruß,Olaf
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 114
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 18:46: |
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Vergiss auch das!
Gruß,Olaf
(Beitrag nachträglich am 31., Oktober. 2002 von heavyweight editiert) |
Rebekka (rebmalten)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 120
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 20:40: |
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Hi Olaf!
Macht ja nix ;-)! Was hältst Du denn von meinem Ansatz (oder sonst jemand, der das jetzt liest - ich will ja keinen ignorieren -)?
Ich habe die ganze Zeit das Gefühl, daß die Aufgabe gar nicht so schwer ist, wie sie scheint! (Nicht, daß ich sie lösen könnte...) Vielleicht habe ich ja auch Glück, daß, falls sie hier keiner mehr löst, mein Prof das mal vorrechnet; wie gesagt, in meinem Umfeld ist auch niemand zu einer vernünftigen Lösung gekommen!! Das ist mir aber eigentlich zu vage - vielleicht fällt ja mir oder Dir, Olaf, oder sonstwem hier noch was Gescheites ein !
Gruß
Reb
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 115
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. November, 2002 - 09:29: |
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Hallo Rebekka!
Sorry,wollte Deinen Ansatz nicht ignorieren!
Ich hab jetzt mal auch konkret mit den Werten für Aufgabenteil b) gerechnet,und
bin auch auf Deine Summe gekommen!
Die Bandgleichung ist ja eh klar,denke ich mal.
Sicher bin ich mir allerdings immer noch nicht.
Vielleicht hab ich am Abend noch etwas Zeit,will jetzt auch unbedingt die Lösung wissen*g.
Gruß,Olaf |
MM (madmagician)
Neues Mitglied
Benutzername: madmagician
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. November, 2002 - 12:04: |
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Hi,
ich würde das Ganze so angehen:
Zum Zeitpunkt t sitzt die Fliege in s(t), bewegt sich mit v_F und dazu kommt die Geschwindigkeit des Bandes an der Stelle s, also
s(t)/l(t)*v_B,
wobei l(t) die Länge des Bandes ist (homogenes Band vorausgetzt).
Länge des Bandes l(t)=1+v_B*t ist wahrscheinlich klar.
Das gibt dann zusammen:
s'(t)=v_B/(1+v_B*t)*s(t)+v_F
Sowas lässt sich bestimmt irgendwie transformieren und explizit lösen.
(I don't know - maybe it's written in a book)
Gruß
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 116
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 09:53: |
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Danke!
Was jetzt richtig ist,wird wohl erstmal ein Geheimnis bleiben*g!
Gruß,Olaf |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 351
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 15:07: |
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Hallo,
Die Lösung der obigen Dgl. für s(t) mit
s(0) = 0 lautet (rechne nach !)
s(t) = (vF/vB)*(1+vB*t)*ln(1+vB*t)
mfg
Orion
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Rebekka (rebmalten)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. November, 2002 - 21:49: |
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Vielen vielen Dank für die Beiträge, ich werde morgen alles durchgehen; mal sehen, ob mir's dann klar wird. Wenn nicht, frage ich halt nochmal, ok?? (Habe mir nämlich seit einer Woche vorgenommen, min um 23 Uhr im Bett zu sein; leide momentan unter chronischem Schlafmangel :-)
Gute Nacht!
Reb
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