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Marty (marty)
Neues Mitglied
Benutzername: marty
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 09:37: | 
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Wer kann mir helfen?
(M, d) ist ein metrischer Raum wenn gilt:
M1: d(x,y) >= 0 mit d(x,y)=0 <=> x=y
M2: d(x,y) = d(y,x)
M3: d(x,y) =< d(x,z) + d(z,y)
Behauptung: Folgende zwei Axiome reichen aus, um einen metrischen Raum zu definieren:
M1*: d(x,y)=0 <=> x=y
M3*: d(x,y) =< d(x,z) + d(y,z)
Es ist also zu zeigen, dass aus M1* & M3* die Axiome M1, M2, M3 folgen.
Soviel habe ich bereits:
In M3* setze man y=x:
d(x,x) =< d(x,z) + d(x,z)
0 =< 2*d(x,z) => d(x,z) >= 0 für alle x,z
Damit wäre M1 bewiesen.
Wie zeige ich nun die Symmetrie?
Mein Ansatz:
In M3* setze z=x:
=> d(x,y) <= d(y,x)
Wie zeige ich nun die Gleichheit?
Aus der M2, zusammen mit M3* würde dann M3 folgen.
Vielen Dank für Eure Hilfe,
MARTY |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 346
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 07:43: |
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Marty ,
Sehr einfach: Vertausche einfach in deinem Argument x und y , dann folgt d(y,x) =< d(x,y),
zusammen also d(x,y) = d(y,x).
mfg
Orion
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