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Kerstin Ackerschott (kerstin)
Neues Mitglied
Benutzername: kerstin
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Oktober, 2002 - 13:02: | 
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Hallo, ich brauche dringend eure Hilfe:
1)Zeigen durch vollständige Induktion:
1^2+2^2+......+n^2= 1/6n (n+1) (n+2)
A(1) habe ich schon bewiesen, A(n+1) habe ich angefangen, doch komm ich nicht bis zum Schluß!
2) Für (x,y) e RxR-(0,0) sei (x1, y1) ~ (x2,y2) wenn eine reele Zahl müh ungleich 0 existiert, so dass (x1,y1)=(mühx2,mühy2)
Zu zeigen: ~ ist äquivalenzrelation
3)Es sei Zn:= {Zeichenkette der Länge n aus den Zeichen 0 oder 1}
Und Ze:= {Zeichenkette endlicher Länge aus den zeichen 0 oder 1}
Beweise,
a) dass Zn und {1,2,...,2^n} und
b) dass Ze und N
gleichmächtig sind.
4)
a) ermittle mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von (42079/719519) und
b) finde s,t eZ, so dass ggT(a,b)= sa+tb.
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 343
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Oktober, 2002 - 08:28: |
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Kerstin,
Hier einige Lösungshinweise.
1) Kürze ab :
S(n) := 12 + ... + n2.
Beh.: Für alle n in |N gilt
S(n) = n(n+1)(2n+1)/6 . (Schreibfehler !)
Dies gilt für n=1 und sei für irgendein n>=1
schon bewiesen (Induktionsannahme).
Dann ist zu zeigen, dass für dieses n auch
S(n+1) = (n+1)(n+2)(2n+3)/6.
(Induktionsbehauptung)
Nun gilt nach Def. von S(n):
S(n+1) = S(n) + (n+1)2
Nun benutzt man die Ind.-Ann. für S(n) und
verifiziert die Ind.-Beh. durch algebraische
Umformung.
2) Man muss dreierlei zeigen:
1. ~ ist reflexiv, d.h. (x,y) ~ (x,y)
2. ~ ist symmetrisch, d.h.:
(x1,y1) ~ (x2,y2) ==>
(x2,y2) ~ (x1,y1)
3. ~ ist transitiv, d.h.:
(x1,y1) ~ (x2,y2) und
(x2,y2) ~ (x3,y3) ==>
(x1,y1) ~ (x3,y3).
Das beinahe offensichtlich, du solltest diese
"Schreibübung" trotzdem durchführen.
3. Beachte zunächst die Definition von
"gleichmächtig" (glm):
Sind X,Y Mengen, so gilt :
X glm Y :<==> Es gibt eine Bijektion
f : X --> Y.
a) Ueberlege zunächst z.B. den Fall n=2 :
Die Zahlen 0,1,2,3 lassen sich binär
durch 00,01,10,11 darstellen. Verallgemeinere!
b) Jede nat. Zahl. besitzt eine eindeutige
Binärdarstellung, umgekehrt stellt jede
endliche (0,1)-Folge eine nat. Zahl dar.
4) Rechenaufgabe, sollte man eigentlich
bewältigen können, wenn man den
euklidischen Algorithmus mal verstanden hat
(abbrechende Folge von "Divisionen mit Rest").
mfg
Orion
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Kerstin Ackerschott (kerstin)
Neues Mitglied
Benutzername: kerstin
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 06-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 11:16: |
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Hallo Orion,
vielen Dank für die Hinweise, ich habe alle Aufgaben mit Ihnen geschafft
Gruß Kerstin |
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