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Karima El-Makhtari (karima)
Neues Mitglied
Benutzername: karima
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Oktober, 2002 - 17:37: | 
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Ich hoffe mir kann jemand helfen ich brauche einen Ansatz um die folgende Aufgabe zu lösen!!!
Ich soll die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ´für n=2s s element aus IN
a index i > 0:
(a1*a2*....*an)^1/n <= (a1+ a2+....+an)/n
Ich hoffe mir kann jemand einen guten Tipp für den Lösungsweg geben wäre euch sehr dankbar!!! |
ksm (ksm)
Neues Mitglied
Benutzername: ksm
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Oktober, 2002 - 00:04: |
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Hi Karima,
ich würde das mit vollständiger Induktion lösen.
Für n=1 ist es klar.
Jetzt setze voraus, dass es für n=i stimmt und zeige unter dieser Voraussetzung, dass es auch für n=i+1 stimmt.
Hab es jetzt nicht ausprobiert, aber kannst Dich dann ja mit Deiner Lösung nochmal hier melden.
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 340
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Oktober, 2002 - 08:24: |
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Karima,
Ich vermute fast, dass es in der Aufgabenstellung n = 2s statt n=2s
heissen soll. Die Ungleichung gilt zwar für
beliebiges n , für den Beweis braucht es aber
doch einen Trick, auf den der Anfänger kaum
selbst kommen würde.
Beweisen wir also die Ungleichung für
n=2s.
Für s=1 läuft das auf (sqrt(a)-sqrt(b))2 >=0
hinaus.
Ind.-Annahme: Die Ungl.gilt für irgendein s>=1. Setze zur Abkürzung
P = a1*...*an , Q = an+1*...*a2n.
S=(a1+...+an)/n
T = (an+1+...+a2n)/n.
Zu zeigen ist :
P*Q =< [(S+T)/2]2n
d.h.: Wenn die Aussage für n = 2s wahr
ist, dann auch für 2n = 2s+1.
Nun ist
P*Q =< Sn*Tn (nach Ind.-Ann.)
= (S*T)n
=< [((S+T)/2)2]n (nach Ind.-Anfang)
= [(S+T)/2]2n Ñ
mfg
Orion
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