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lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 09:13: | 
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Das Problem :
In der Ecke (Eck-Kante) einer senkrecht zum (waagrechten) Boden stehenden Hauswand befindet sich ein Würfel der Kantenlänge 1 (eins).
Es wird eine l (...Buchstabe l) Meter lange Leiter so aufgestellt, dass sie sowohl den (waagrechten) Boden, als auch die (dazu senkrechte) Hauswand, als auch die Ecke des Würfels berührt (es ist wohl klar, welche Ecke bzw Kante des Würfels).
Frage:
Wie lang muss die Leiter sein, damit sowas überhaupt möglich ist, und wiehoch (senkrechter Abstand zum Boden) kommt die Leiter ? |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 09:42: |
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Carlos
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 12:34: |
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Hallo Inexp,
Diese Frage taucht auch schon weiter oben auf wo sie eher hingehört:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/14798.html?988101901 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 15:58: |
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Hi Inexp,
Als unabhängige Variable wählen wir den spitzen
Neigungswinkel t der Leiter mit der Horizontalebene.
Die Länge L der Leiter stellen wir als Funktion
L = L(t) dar mit 0 < t < Pi /2 .
Wir finden leicht:
L = 1 / sin t + 1 / cos t
Ableitung L' (t) nach t :
L'(t) = - cos t / (sin t)^2 + sin t / ( cos t ) ^2 =
[ - ( cos t ) ^3 + ( sin t ) ^ 3 ] / [ ( sin t ) ^ 2 * (cost ) ^2 ]
Setz man L' null , so erhält man die Gleichung
(sin t ) ^ 3 = (cos t ) ^ 3 oder:
( tan x ) ^ 3 = 1 , Lösung
t = Pi / 4 daraus L min = 2 * wurze(2).
°°°°°°°°°
Zugehöriger Wert von H:
H = L min * sin 45° = 2
Diese Lösung t = 45° ist plausibel, da der Graf der Funktion
bezüglich der Parallelen zur L-Achse durch den Punkt
{Pi/4 ; 0} auf der t-Achse achsialsymmetrisch ist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 19:20: |
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Um auf Carlos zurückzukommen: Ich finde zwar die minimale Länge der leiter, nämlich 2*wurzel(2), trivial herzuleiten, nicht unbedingt aber die Höhe h, bis zu der die Leiter reichen kann, wenn l>2*wurzel(2) ist !!! Deswegen stellte ich die Frage auch im Uni-Niveau: mein studierender (Mathe) Freund hat die Aufgabe nicht lösen können; ich stelle die Frage hier, weil ich gerne noch einen zweiten Lösungsweg sehen würde, der unabhängig von meinem ist.
Also: vor allem interessiert, wie hoch die Leiter reicht, wenn Sie zum Beispiel 10 (also mehr als 2*wurzel(2)) lang ist. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 14:19: |
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Hallo :
Nach zweckmaessiger Wahl des Koordinatensystems sei A = (a,0) der untere, und B = (0,b) der obere
Endpunkt der Leiter. Weil der Punkt (1,1) auf der
Geraden AB liegt, gilt
(1) a + b = ab ,
ferner natŸrlich
(2) a^2 + b^2 = L^2.
Eliminiert man a, so bleibt eine Gleichung 4. Grades in b Ÿbrig. Es waere aber verfrueht, jetzt
das Handtuch zu werfen. Das Problem laesst sich
naemlich auf 2 quadratische Gleichungen reduzieren
(und daher auch "mit Lineal und Zirkel" loesen):
Wir fŸhren ein
(3) s:= a + b
und erhalten wegen (1),(2) fŸr s
(4) s^2 - 2s = L^2
also (da s > 0)
(5) s = 1 + sqrt(L^2 + 1)
Nach Vieta sind nun a und b die Loesungen der
quadratischen Gleichung x^2-(a+b)x+ab=0 oder
(6) x^2 - sx + s = 0.
Die Loesungen von (6) sind reell g.d.w. L^2 >=8.
Gruss
Hans |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 13:48: |
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Danke Hans |
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