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Gaußsches Eliminationsverfahren

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Stefan Reich2 (stefan2003)
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Neues Mitglied
Benutzername: stefan2003

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 25. Oktober, 2002 - 19:09:   Beitrag drucken

Hallo! Ich suche Hilfe zur folgenden Aufgabenstellung:

------------------------------

Gegeben ist das System linearer Gleichungen (SLG):

1 2 0 3 | 1
4 5 6 0 | 2
7 8 9 0 | 3

Wandeln Sie dieses SLG um in Ax=b, d.h. geben Sie A,x und b an.

--------------------------------

Ich hoffe, jemand kann mir bei der Lösung hier helfen!

Vielen Dank im Voraus!





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Stefan Reich2 (stefan2003)
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Neues Mitglied
Benutzername: stefan2003

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Oktober, 2002 - 11:14:   Beitrag drucken

Ich komme mit Hilfe des Gaussschen Eliminationsverfahrens auf keine Lösung, nicht einmal den Rang kann ich bestimmen.

Hat denn keiner einen möglichen Lösungsversuch?

-Stefan

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mythos2002 (mythos2002)
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Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 192
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 28. Oktober, 2002 - 00:30:   Beitrag drucken

Hallo,

überprüfe bitte die Angabe, sie ist nicht ganz verständlich.

Was sollen die 5 Zahlen in drei Zeilen eigentlich bedeuten? Ist es ein LGS mit 4 Variablen, in dem eine Gleichung fehlt? Oder eines mit 3 Variablen und die rechte Spalte 1, 2, 3 numeriert nur die Gleichungen?

So ist es nämlich nicht verwunderlich, dass dir bis jetzt niemand geantwortet hat.

Die Matrixgleichung A.X = B muss durch Multiplikation beider Seiten (von links) mit der inversen Matrix A[-1] so umgewandelt werden (zur Vermeidung von Verwechslungen nehme ich Großbuchstaben für Matritzen):

A[-1].A.X = A[-1].B
E.X = A[-1].B ... E Einheitsmatrix

X = A[-1].B; (A.A[-1] = E)

Die inverse Matrix zu ermitteln, kann aber ziemlich rechenintensiv werden, sodass man das LGS lieber durch das Eliminationsverfahren oder die Cramer'sche Regel (wenn nicht mehr als 3 Unbekannte vorliegen) löst. Die Sache funktioniert aber nur bei quadratischen Matritzen (gleichviele Zeilen wie Spalten).

Somit ist anzunehmen, dass das LGS in deiner Angabe wie folgt aussieht:

| 1 2 0 |
| 4 5 6 | . X = |3 0 0|(T)
| 7 8 9 |

(T) heisst transponiert, also dass der in einer Zeile geschriebene Vektor in Wirklichkeit ein Spaltenvektor (Matrix) ist.

|3|
|0| = B
|0|

Die Matrix A

| 1 2 0 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |

hat den Rang 3, weil deren Determinante <> 0 ist (sie hat den Wert 9). Daher ist das LGS eindeutig lösbar.

Wir schreiben es mal in den Variablen an, denn X = |x y z|(T):

x + 2y ....... = 3
4x + 5y + 6z = 0 |*(-3)
7x + 8y + 9z = 0 |*2 ... |+
-----------------
aus der 2. und dritten Gleichung eliminieren wir z, es ergibt sich:

2x + y = 0; mit der ersten Gleichung
x + 2y = 3 folgt leicht:
-------------------------------------

x = -1; y = 2; und danach durch Einsetzen: z = -1
der Lösungsvektor X

X = [-1; 2; -1](T)
=============

Die Umformungen, die wir in dem LGS vorgenommen haben, sind gleichermaßen auch in der Matrixschreibweise durchführbar, denn dies führt genau so zu dem Ziel:

E.X = X, wobei

|1 0 0|
|0 1 0| = E
|0 0 1|

Die zu A inverse Matrix A[-1] ist

|-1/3 - 2 4/3 |
| 2/3 1 - 2/3 |
|-1/3 2/3 -1/3|

diese mit B multipliziert, ergibt direkt die Lösung X:

|-1/3 - 2 4/3 |
| 2/3 1 - 2/3 | * | 3 0 0 |(T) = [-1; 2; -1](T)
|-1/3 2/3 -1/3|

Gr
mYthos


(Beitrag nachträglich am 28., Oktober. 2002 von mythos2002 editiert)

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