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Beitrag |
    
Roman
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 14:56: | 
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Hallo!
Ich stehe gerade fürchterlich bei einer Aufgabe an, die wie folgt lautet!
Untersuche folgende Reihen mit Hilfe des Wurzelkriteriums auf Konvergenz:
a.) SUMME(ln k/3^k) für k=1 bis unendlich
b.) SUMME(2^k/k^3) für k=1 bis unendlich
Grundsätzlich verstehe ich wie das Wurzelkriterium funktioniert, jedoch habe ich meine Probleme mit der Berechnung der Grenzwerte.
zu a.) zu zeigen ist:
lim k-te WURZEL(ln k / 3^k) < p < 1
zu b.) lim k-te WURZEL(2^k/k^3) < p < 1
Soweit bin ich gekommen, doch die Grenzwerte fuchsen mich gewaltig.
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar, auch wenn sie "ausfühlichst" sind ;-) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 10:17: |
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Hi Roman,
Beide Grenzwerte existieren:
Der erste hat den Wert 1/3 , der zweite ist 2.
Nachweis
a) ak = [ln ( k ) ^ (1 / k) ] / [(3 k ) ^ ( 1 / k) ] = 1/3 * ( ln k ) ^ ( 1 / k )
Sei zk = ( ln k ) ^ ( 1 / k ) ;dann entsteht durch Logarithmieren::
uk = ln (zk) = 1/k * ln { ln k }
Für k gegen unendlich erscheint rechts die Form
"unendlich durch unendlich" .
Wir können wie bei der unbestimmten Form 0/0 die Regel
von de L'Hospital - Bernoulli einsetzen, indem wir Zähler und Nenner
einzeln nach k ableiten. Dann gilt:
lim uk = lim [ {1/ (ln(k) * 1 / k } / 1 ] = lim [ 1 / ( k* ln (k)) ] = 0
somit entsteht:
lim zk = 1 und lim ak = 1/3
(alle Grenzwerte im Sinne von k -als stetige Variable -
strebt gegen unendlich)
b)
Vorbereitung
Ebenfalls mit de L'Hospital - Bernoulli zeigt man:
x* ln x hat für x gegen null den (rechtsseitigen) Grenzwert 0 ,
somit gilt
x ^ x srebt gegen 1 für x gegen null.
Wir formen bk = [2^k / k^3 ] ^ (1/k) um,
indem wir 1 / k = x setzen
Mit k (kontinuierlich) gegen plus unendlich
srebt dann x (kontinuierlich) fallend gegen null.
Wir erhalten bk = 2* (x) ^ (3x) = 2 * [x^x]^3,
nach der einführenden Bemerkung strebt bk gegen 2
q.e.d..
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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