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chris
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 13:19: | 
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Hi!
Bräuchte dieses Bsp. auch für einen Test.
Geg. Kurve
Ges. Flächeninhalt
6x^2-8xy+6y^2=c
c>0
(Polarschreibweise)
1)mit Leib.Sektorformel
2)mit Doppelintegral
Danke!
Chris
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 10:22: |
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Hi Chris,
Es liegt die Koordinatengleichung einer bezüglich des
(x,y) -Systems um 45 ° aus der Hauptlage gedrehten
Ellipse vor.
Es ist nicht schwierig, ihre Halbachsen a und b zu bestimmen
Wir erhalten:
a = wurzel (2) / 2 * wurzel(c) , b = wurzel (10) / 10 * wurzel (c)
Der Flächeninhalt ist somit
A = Pi * a * b = Pi * wurzel(5) / 10 * c.
Da für verschiedene c-Werte die zugehörigen Ellipsen
ähnlich sind, können wir im Folgenden ohne Beschränkung
der Allgemeinheit c = 1 setzen.
A]
Berechnung der Fläche mittels Polarkoordinaten
Setzt man x = r cos (phi) , y = r sin (phi) in die
Koordinatengleichung ein und löst nach r^2 auf , so kommt:
r^2 = ½ [1 / {3 - 2 * sin (2*phi )}]
Die Fläche A ist dann das bestimmte Integral
A = ½ * int [r ^ 2 * d (phi) ], untere Grenze 0 , obere Grenze 2*Pi..
Maple und andere Computeralgebrasysteme helfen uns ,das Integral
int [...] auszuwerten.
Das unbestimmte Integral ist
1/10 * wurzel(5) * arc tan [1/10* { 6 * tan(x) - 4 } * wurzel(5) ] ,
das bestimmte:
wurzel(5) / 5 * Pi , sodass wir als Fläche A = 1/10* wurzel (5) * Pi
erhalten wie mit der ersten Methode.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 10:47: |
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Hi chris,
Was die Sektorformel von Leibniz betrifft,
empfehle ich Dir, im Archiv unter dem Stichwort
"alterwürdigen" nachzulesen.
Dort habe ich vor einiger Zeit die Fläche einer Ellipse
aus den beiden Halbachsen a und b mit Hilfe dieser Formel
berechnet.
Will man dasselbe für die gedrehte Ellipse tun ,erhält man
in nuce dieselben Tatsachen , nur die Auswertung ist wesentlich
kompliziert.
Ich werde Dich später unter eine Rubrik B] diesen netten Umweg
vorführen
Noch etwas :
Wenn Du die Halbachsen Deiner Ellipse elementar bestimmen willst,
gebe ich Dir dazu den folgenden Tipp:
Schneide die Kurve mit der Winkelhalbierenden der Quadranten;
deren Gleichungen lauten y = x und y = - x
Es sind dies die Hauptachsen der Ellipse !
Die Gerade y = x schneidet die Ellipse in den beiden Hauptscheiteln
U1 ,U2 ;
y = - x schneidet die Ellipse in den beiden Nebenscheiteln V1 , V2. .
Es gilt also:
OU1 = OU2 = a = wurzel(2) / 2
OV1 = OV2 = b = wurzel(10) / 10
(Zahlenwerte für c = 1) .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 11:54: |
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Hi chris,
B]
Zu meinem Geburtstag erhielt ich heute morgen
von einer für solche Dinge prädestinierten
und zuständigen Fee eine Parameterdarstellung
für die von Dir vorgelegte Ellipse.
Sie hat mir die Gleichungen nicht in die Wiege,
sondern auf den Schreibtisch gelegt mit der Auflage,
sie zusammen mit der Sektorformel von Leibniz
zu verwenden.
Die Parametergleichungen lauten:
x = wurzel(2) / 2 * [ p cos t - p sin t ]
y = wurzel(2) / 2 * [ p cos t + q sin t ]
p und q sind zwei zu bestimmende Konstanten.
Jetzt ist eine längere, aber einfache Rechnung fällig:
wir berechnen 6 x^2 , 6 y^2 , - 8 xy und setzen die
vereinfachten Resultate in die Ellipsengleichung ein;
dabei sei c = 1 gewählt.
Ergebnis:
2 p ^ 2 * ( cos t ) ^ 2 + 10 q ^ 2 ( sin t ) ^ 2 = 1
Da diese Relation für alle Werte des Parameters t erfüllt
sein muss , gilt:
p^2 = ½ , q^2 = 1 / 10 , mit anderen Worten:
p ist die grosse Halbachse a , q die kleine Halbachse b.
Bei der Verwendung der Sektorformel von Leibniz brauchen
wir die Ableitungen x ' von x(t) nacht t und die Ableitung
y' von y(t) nach t.
:
x'(t) = wurzel( 2 ) / 2 * ( - a sin t - b :cos t )
y' (t) =wurzel( 2 ) / 2 * ( - a sin t + b cos t )
Setz man diese Werte zusammen mit x(t ), y(t) in die Formel
von Leibniz ein (Integration von t = 0 bis t = 2 Pi ), so erhält man,
wie zu erwarten war:
Fläche der Ellipse A = Pi * a * b.
Damit ist dieser interessante Rundgang zu Ende.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
chris
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 15:52: |
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Hi!
Frage:
wie kommst du auf diese Gleichung r^2 = ½ [1 / {3 - 2 * sin (2*phi )}]
ich komme auf : r^2 = ½ [1 / {3 - 2 * sin*cos*(2*phi )}]
chris |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 19:22: |
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Hi chris,
Antwort auf Deine Frage.
Bei meiner Berechnung von r^2 benützte ich die
Doppelwinkelformel der Sinusfunktion:
sin (2*Phi) = 2* sin ( phi )* cos ( phi ) .
Zunächst kommt
r ^ 2 = c / [2 * (3 - 4*sin ( ph i )* cos ( phi ) ] , dann
r ^2 = c / [ 2 * (3 - 2 * sin ( 2 * phi ) ]
Die Berechnung der Fläche A mittels Doppelintegral
ist erfolgreich durchgeführt und wird bald ins Board gestellt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 21:38: |
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Hi chris,
Um den Flächeninhalt A Deiner Ellipse mit Hilfe eines
Doppelintegrals zu berechnen, müssen wir ein paar
Vorbereitungen treffen
1.
Aus der Gleichung 6 x ^ 2 - 8 x y + 6 y ^ 2 - 1 = 0
der gedrehten Ellipse berechnen wir y bei gegebenem x.
mit Hilfe der Auflösungsformel für quadratische Gleichungen .
Wir erhalten die beiden Zweige:
y1 = y1 (x) = (8x + w) / 12 und y2 = y2 (x) = (8x - w) / 12 ;
w ist eine Abkürzung für die Wurzel aus der Diskriminante der
quadratischen Gleichung:
w = wurzel( 24 - 80 x^2 )
y2 wird zur unteren Grenze, y1 zur oberen Grenze des
inneren Integrals im Doppelintegral.
Im Integral wird die Differenz d = d(x) dieser beiden Grenzen
eine entscheidende Rolle spielen.
Es gilt : d = y1 - y2 = w / 6.
2.
Es sind die Grenzen für das äussere Integral im Doppelintegral
festzulegen .
Die untere Grenze wählen wir bei x1 = 0 in der Absicht,
zunächst an Stelle von A die halbe Fläche ½ A zu ermitteln.
Die obere Grenze x2 ist die positive Nullstelle der Diskriminante
6 - 20 x^2 , also x2 = wurzel (3/10) =3 / wurzel(30)
3.
Ein unbestimmtes Integral:
J = int [1/6 * wurzel(24 - 80* x^2) * dx =
=1/6* x*wurzel( 6 - 20*x^2)+1/10* wurzel(5)*arc sin [1/3*wurzel(30) * x]
Der Integrand in J ist nach Punkt 1 (Ende)
gerade das innere Integral int [w / 6)* dy]
Berechnung des Doppelintegrals:
Setze im Integral J aus Punkt 3 für die untere Grenze 0 ,
für die obere Grenze 3 / wurzel(30) ein
Der numerische Wert dieses bestimmten Integrals und damit des Doppelintegrals ist
A/2 = 1/20* wurzel(5) * Pi ~ 0.35124 , wie zu erwarten war !
Anm
In Maple gibt man den obigen Ausführungen entsprechend
folgendes ein:
w = sprt(-80*x^2 + 24);
A/2=int(int(1,y= (8x-w)/12..(8*x+w)/12),x=0..3/sqrt(30));
Das sollte genügen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
chris
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 22:47: |
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Danke für deine Bemühungen
chris |
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