| Autor |
Beitrag |
    
Peter
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 18:14: | 
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Hallo allesamt!!
Hab ein ziemlich anhängliches Problem
a.)Man berechne die Bogenlänge der Astroide
x=x(t)=acos^3,y=y(t)=asin^3,0<=t<=2PI,a>0
b.)Man berechne die Bogenlänge der Kardioide
r=r(FI)=a(1+cos(FI)),0<=FI<=2PI,a>0
Danke schon mal im vorraus!! |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 19:34: |
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x=acos³t
y=asin³t
x'=-3acos²tsint
y'=3asin²tcost
(x')²+(y')²=9a²sin²tcos4t+9a²sin4tcos²t
=9a²sin²tcos²t(cos²t+sin²t)
=9a²sin²tcos²t
Ö{(x')²+(y')²}=3|a|*|sint*cost|
Da a>0 ist:
Ö{(x')²+(y')²}=3a*|sint*cost|
Das muss jetzt von t=0 bis t=2pi integriert werden:
Bogenlänge =ò0 2p3a|sintcost|dt
=3aò0 2p|sintcost|dt
Das könnte man in 4 Teilintegrale zerlegen:
das Erste von t=0 bis t=pi/2
das Zweite von t=pi/2 bis t=pi
das Dritte von t=pi bos t=3/2*pi
und das Vierte von t=3/2*pi bis t=2pi
Im ersten und dritten ist |sint*cost|=sintcost und die Stammfunktion lautet 1/2*sin²t
Im zweiten und vierten ist |sint*cost|=sintcost und die Stammfunktion lautet -1/2*sin²t
Das mit den 4 Teilintegralen sieht zwar kompliziert aus, aber im Moment komm ich auf keine elegantere Lösung, um die Beträge wegzukriegen...
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 19:59: |
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Hi Peter , hi Cosine
Ich habe eine etwas kürzere Lösungsvariante:
Wir berechnen zuerst das Bogenelement ds der Astroide
aus den Ableitungen x' = - 3 a (cos x) ^ 2 * sin t und
y' = 3 a (sin x)^2 * cos t ;
für das Linienelement ds der Kurve kommt das sehr einfache
Ergebnis:
ds = wurzel( x' ^2 + y' ^2) * dt = 3 a * cos t * sin t * dt
Der im ersten Quadranten liegende Bogen der genannten
Astroide hat die Länge
b = 3 a * int [ cos t * sin t * dt ]
= 3 / 2 * a * int [sin ( 2 t ) * dt] = 3 / 2 * a
Achtung:Die Integrationsgrenzen der Integrale sind:
untere Grenze 0 , obere Grenze Pi / 2
Die Gesamtlänge B ist somit 4 * 3 / 2 * a = 6a
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 20:19: |
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Hi Peter,
Für das Linienelement ds der Kardioide r = a (1+ cos(phi))
ergibt sich :
ds = wurzel (r ' ^ 2 + r ^ 2 ) * d (phi) =
wurzel [2*(1+cos(phi))] * d (phi)
Für den halben Unfang erhalten wir
u / 2 = 2 * a * int [ cos (phi/2) * d(phi) ] = 4* a * sin (Pi / 2) - 0 = 4 a
untere Grenze des Integrals : null
obere Grenze: Pi
Der ganze Umfang beträgt (Symmetrie!) somit 2 * 4a = 8a
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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