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Karo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. April, 2001 - 18:22: | 
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Hi, wer kann mir folgende Aussagen beweisen?
Seien A und C n x n-Matrizen über dem Körper K.
a) Ist K = R(reelle Zahlen), so ist A genau dann symmetrisch,w enn es eine bzgl. des kanonischen Skalarproduktes orthonormale Basis des K^n aus Eigenvektoren von A gibt.
b) Ist K = C(komplex. Zahlen), so ist A genau dann hermitesch, wenn es eine bezgl. des kanonischen hermiteschen Produkts orthonormale Basis des K^n aus Eigenvektoren von A gibt und alle Eigenwerte von A reell sind. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 08:09: |
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Hallo :
a) ist Spezialfall von b), daher befasse ich mich nur mit b). Wir haben die beiden Aussagen
(1) C ist hermitesch, d.h.: C* = C (C* ist die
transponiert-konjugierte von C).
(2) Es existiert eine Orthonormalbasis (ONB) aus
lauter Eigenvektoren (EV) von C, und alle Eigenwerte (EW) von C sind reell.
Die Implikation (1) ==> (2) ist der sog.
Spektralsatz und wird in jedem gaengigen Lehrbuch
der linearen Algebra bewiesen (Ÿblicherweise mit
Induktion bzgl. der Reihenanzahl von C).
(2) ==> (1) : Sind l_1,...,l_n die (reellen)
EW und u_1,...u_n die orthonormierten EV von C,
so fasse man die letzteren als Spalten einer
unitaeren Matrix U auf : U U* = E . Dann gilt
U* C U = D := diag(l_1,...,l_n) <==>
C = U D U* ==> C* = U** D* U* = U* D U* = C .
Gruss
Hans |
Karo
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. April, 2001 - 11:09: |
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Vielen Dank! |
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