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sebi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. April, 2001 - 17:35: | 
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Hallo zusammen! Sind Funktionen wie cos5(x) oder sin3(x) elementar integrierbar? Und wenn ja, wie kommt man auf ihre Stammfunktionen?
Grüsse
Seb. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 09:48: |
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Hallo :
Jede rationale Funktion R(cos(x), sin(x)) von
cos(x) und sin(x) ist elementar integrierbar,
notfalls mit Hilfe der Substitution
cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2) , sin(x) = 2t/(1+t^2)
wobei t := tan(x/2), also dx = 2 dt/(1+t^2).
Dadurch wird der Integrand in eine rationale Funktion von t verwandelt.
Oft kommt man schneller ans Ziel :
int(cos^5(x))dx = int(1-sin^2(x))^2*cos(x)dx
=int(1-u^2)^2*du mit u := sin(x).
Gruss
Hans |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 10:08: |
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Hi Sebi,
Motto des Tages:
OVO OVUM SIMILE (Cicereo)
Ein Ei gleicht dem anderen !
Gemeint sind die beiden folgenden Rekursionsformeln,
mit denen Du Deine Aufgaben lösen kannst:
int [ (sin x)^n * dx ] =
- 1/n* [(sin x) ^ (n-1) * cos x] + (n - 1) / n * int [(sin x )^(n - 2) * dx]
int [ (cos x )^n * dx ] =
1/n * [(cos x ) ^ ( n-1 ) * sin x] + (n - 1) / n * int [(cos x)^(n - 2} * dx]
In weiteren Ausführungen werde ich Dir auch direkte Methoden zur
Berechnung Deiner Integrale vorführen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 10:34: |
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Hi Sebi,
Es wäre geisttötend, wenn wir zur Lösung solcher
Aufgaben auf fertige Rezepte angewiesen wären.
Besser ist es doch, wenn wir unser Phantasie und
eigene Initiative zum Einsatz bringen !
Die Aufgabe J = int [ (cos x )^5 * dx ] lässt sich
äusserst elegant lösen, in dem wir den Integranden so umformen:
(cos x) ^ 5 = ( cos x ) ^ 4 * cos x = [1 - (sin x) ^ 2 ] ^ 2 * cos x
= [1 - 2 * (sin x) ^ 2 + ( sin x ) ^ 4 ] * cos x.
Wir verwenden nun die Substitution
sin x = u , cos x * dx = du
und erhalten das Schlussresultat als reine Kopfrechnung:
J = sin x - 2/3*(sin x)^3 + 1/5 * (sin x ) ^ 5 .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. April, 2001 - 11:06: |
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Hi Seb
Motto: Wer sucht, der findet
Auf meiner Suche nach Ostereiern fand ich heute morgen
nebenbei auch eine Summenformel, die zu einem Deiner
Integrale passt ; ich möchte sie Dir nicht vorenthalten
(Gebrauchsanweisung: setze im Folgenden m = 2)
Die Formel lautet
Int [ (cos x ) ^ (2m + 1) * dx ] =
sin x* Sum [{2^(2m -2k)* (m!)^2 (2k)! (cos x)^(2k) }/ {(2m+1)!(k!)^2}]
Der Summationsindex k läuft von k = 0 bis k = m .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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