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chris
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 12:25: | 
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hi, ich habe ein problem mit einer aufgabe, die folgendermaßen lautet:
Die Vektoren a,b,c spannen ein regelmäßiges Tetraeder auf.
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren zu zwei windschiefen Kanten aufeinander senkrecht stehen.
b) Zeigen Sie, dass alle nach aussen gerichteten Produktvektoren der Kantenvektoren den Nullvektor ergeben. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 13:44: |
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Hi Chris,
a) Die vom O ausgehenden Kantenvektoren des regulären
Tetraeders OABC sind:
a = OA , b = OB , c = OC
Wir berechnen die Skalarprodukte
b.c und a .b , je ausgedrückt durch die Kantenlänge s des Tatraeders
Wir erhalten aus der Definition des Skalarproduktes:
b . c = s * s * cos 60° = ½ * s^2 , ebenso
a . b = s * s * cos 60° = ½ * s^2 , also Gleichheit
Wir zeigen jetzt , ebenfalls mit Hilfe des Skalarproduktes,
dass die Kantenvektoren
OB = b und AC = c - a aufeinander senkrecht stehen:
b . ( c - a ) = b c - a. b = 0 nach der Vorausberechnung.
Da das Skalarprodukt verschwindet, sind die involvierten Vektoren
senkrecht.
b) Wir formulieren den einschlägigen Satz, der für beliebige
Tetraeder gilt:
Die Summe der Vektoren, welche zu den Seitenflächen eines
Tetraeders senkrecht nach aussen errichtet werden und deren
Längen gleich den entsprechenden Seitenflächen sind ,
ist der Nullvektor.
Beweis
Wiederum seien a , b , c die von einer Ecke ausgehenden
Kantenvektoren, die ein Rechtssystem bilden sollen.
Dann gilt für die Vektorprodukte :
- ( a x b ) - ( b x c ) - ( c x a ) + (b-a) x (c-a) =
( b x a ) - ( b x c ) + ( a x c ) + ( b x c ) - ( a x c ) - ( b x a ) + (a x a ) =
= ( a x a ) = o (Nullvektor) q.e.d.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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