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Sven
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 11:55: | 
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Gibt es eigentlich eine explizite Berechnungsvorschrift für die Folgeglieder der (Lukas-) Rekursionen
F1 = 4
Fn = Fn - 1 * Fn - 1 - 2
oder kann mir jemand sagen, wie man sie herleitet? |
Xell
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 15:36: |
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Kleine Rückfrage:
Wie ist das nun gemeint?
F(n)=F(n-1)*F(n-1)-2=(F(n-1))^2-2
oder
F(n)=F(n-1)*(F(n-1)-2)
mfG |
Sven
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 16:18: |
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Das erste. Also F(n - 1) * F(n - 1) - 2 |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 17:34: |
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Hallo Sven,
F(n) = ((((((16-2)²-2)²-2)²............-2)²-2)²-2)²-2
mit (n-2) Exponenten.
Zum Beispiel:
F(11)= (((((((((16-2)²-2)²-2)²-2)²-2)²-2)²-2)²-2)²-2)²-2 |
Xell
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 18:07: |
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Jo, soviel hab' ich auch schon rausbekommen, Fern.
Aber, geht's nicht etwas "geschlossener"? |
Sven
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. April, 2001 - 14:27: |
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Ich weiß nicht, ob das jetzt großartig weiterbringt, aber ich hab noch eine andere Rekursion gefunden:
L(n) = 4*L(n-1) - L(n-2)
Um jetzt die oben genannten Lukaszahlen zu berechnen, setzt man 2n ein (also: 1, 2, 4, 8, 16, ...).
Kann man darauf nicht irgendwie den "Goldenen Schnitt" anwenden mit dem man auch die Fibonacci - Zahlen berechnen kann? |
Sven
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 07:21: |
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Sorry, hab noch was vergessen. Die Anfangsglieder:
L(0) = 2
L(1) = 4 |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 08:00: |
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Hallo :
Man findet leicht
L(n) = (2 + sqrt(3))^n + (2 - sqrt(3))^n .
Hans |
Sven
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 08:14: |
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Wie bist du darauf gekommen? Wie macht man sowas? Gibts dafür eine Regel? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 15:00: |
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Es gibt eine Methode : Deine Rekursion ist ein
Spezialfall einer sog.homogenen Differenzengleichung 2. Ordnung
(1) X(n+2) = p*X(n+1) + q*X(n)
mit konstanten reellen (oder komplexen) Koeffizienten p,q. Die Menge aller Loesungsfolgen (X(n)) bildet offenbar einen reellen bzw. komplexen Vektorraum der Dimension 2. Die allgemeine Loesung von (1) laesst sich also als
Linearkombination
(2) X(n) = C_1*U(n) + C_2*V(n)
aus 2 linear unabhaengigen Basisloesungen (U(n)),
(V(n)) darstellen. Durch geignete Wahl der Koeffizienten C_1, C_2 wird diejenige Loesung ausgesondert, welche gegebenen Anfangsbedingungen
(3) X(0) = A , X(1) = B
genŸgt. Um U(n), V(n) zu finden, versucht man
den Ansatz X(n) = r^n (geometrische Folge).
Das fŸhrt auf die sog. charakteristische Gleichung
(4) r^2 - p*r - q = 0.
Sind deren Loesungen r_1, r_2 , so zeigt man
durch Induktion, dass
(5) U(n) = (r_1)^n , V(n) = (r_2)^n
das Verlangte leisten, d.h. die allgemeine Loesung
von (1) lautet
(6) X(n) = C_1*(r_1)^n + C_2*(r_2)^n.
Ist die Diskriminante von (4) negativ, so treten
ggf. trigonometrische Loesungen auf (Real- bzw.
Imaginaerteil von Potenzen komplexer Zahlen).
Ist die Diskriminante = 0, also r_2 = r_1, so
hat man statt (6) (mache die Probe !)
(7) X(n) = [C_1 + C_2*n]*(r_1)^n.
Das alles ist analog zu den linearen
Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten.
Gruss
Hans |
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