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ariane
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 09:12: | 
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Hallo mal wieder,
hoffe ich blamiere mich mit meinen Fragen nicht zu sehr. Ich stand in Analysis schon immer auf dem Schlauch und tue es noch. Wobei ich hier schon einige tolle Antworten bekommen habe, die mich echt weiter gebracht haben deshalb probiere ich es jetzt wieder:
m,n aus N
f(x) = xm*sinx-n für x ¹0
= 0 für x = 0
Wie oft ist f in 0 diffbar?
Wäre nett, wenn Ihr mir kurz sagen könntet, wie ich da ran gehn muß. Keine Ahnung! Auch für ausfürlicher Antworten bin ich selbstverst. dankbar :-).
Nächste Aufgabe (ist vielleicht so ähnlich und kann ich evtl. selbst nach Beantwortung der ersten):
f(x) = arctanx
Ges: Wert aller Ableitungen an der Stelle 0
Vielen Dank schon mal
Ariane |
ariane
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. April, 2001 - 08:41: |
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Hallo,
Wollte nur noch mal vorsichtig nachfragen, warum mir denn keiner antwortet! Is die FRage sooo blöd?
Bitte, wenn Ihr keine Zeit habt, ein kleiner Hinweis.... um mir auf die Sprünge zu helfen.
Wär echt lieb!
Ariane |
Basti
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 08:40: |
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Zu deiner ersten Frage:
f(x) sollte für 0 nicht definiert sein, da sin 0 = 0 und 0^-n = 1/0^n somit 1/0 und dies ist ja bekanntlich nicht definiert. (Wo eine Funktion nicht definiert ist hat sie auch keine Steigung sprich keine Ableitung sprich ist nicht diffbar.
Oder ich liege total falsch, kann auch sein :-)
(glaube aber es ist schon richtig, hört sich doch gut an, oder?) |
Marie
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 08:57: |
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Hi Basti,
Die Funktion ist sehr wohl definiert für x=0.
Es ist f(0) = 0 |
ariane
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 09:44: |
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Hallo,
danke erst mal, dass ich geantwortet habt, aber ist die Fkt. nun definiert, oder nicht?
Das was Basti sagt erscheint mir nämlich schon recht einleuchtend.
Grüsse
Ariane |
Curious (Curious)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 14:54: |
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Die Funktion f ist durch den "Extrawert" f(x)=0 für x=0 nun für alle rellen zahlen definiert.
Und zwar ist diese Erweiterung so "geschickt gewählt", daß f stetig ist.
Für x gegen Null (ob von rechts oder links) ist nämlich lim f(x)=0.
Aber ob sie nun auch differenzierbar ist?
Am besten bildet man dann "ohne Rücksicht auf Verluste" die Ableitung und schaut dann nach, ob linksseitige und rechtsseitige Ableitung (also wieder ne einfache Grenzwertbetrachtung) übereinstimmen.
Tun sie's, dann ist die Funktion an dieser Stelle auch differenzierbar.
Für irgendeine Stelle x<>0 ist f differenzierbar und die Ableitung ist
f'(x)=m*x^(m-1)*sin(x^-n) + x^m*cos(x^-n)*(-n)*x^(-n-1) = m*x^(m-1)*sin(x^-n) -n*x^(m-n-1)*cos(x^-n)
Nun tastest du dich mutig gegen Null: Sinus und Cosinus nehmen dort irgendwelche Werte zwischen -1 und 1 an.
Wenn jetzt m-1 und m-n-1 nicht Null sind, dann geht das Ganze gegen Null und damit ist dann
f'(x)= ... für x<>0 , = 0 für x=0
die vollständige Ableitung von f.
Wenn dagegen m-1 oder m-n-1 Null ist, dann existiert dieser Grenzwert nicht und f ist in Null nicht differenzierbar.
Wie oft f also in Null differenzierbar ist, hängt von m und n ab. |
Basti
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 15:23: |
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Tschuldige, den hatte ich übersehen, sollte nicht wieder passieren, da f(0) = 0 definiert wurde, ist die Funktion natürlich definiert.
Gruss basti
PS: Hätte vielleicht eher schlafen gehen sollen, dann wäre mir so etwas nicht passiert. ;-) |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 15:47: |
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Hallo Ariane
Lass Dich nicht verwirren. Die Funktion xmsinx-n ist im Nullpunkt nicht definiert. Das ist richtig. Aber deshalb definiert man auch f(0)=0, weil das die steitige Fortsetzung ist.
Nun zu Deiner ursprünglichen Frage:
Die Funktion ist floor[(m-2)/(n+1)]+1-mal differenzierbar.
Hier die Idee:
um "normale" Differenzierbarkeit zu überprüfen, schreiben wir den Differenzenquotienten auf:
[f(x)-f(0)]/[x-0]=xm-1sinx-n
Ist nun m-1=0, so existiert der Grenzwert für x gegen 0 nicht. Ist aber m-1>=1, so ist der Grenzwert 0.
Dasselbe gilt, wenn man sin durch cos ersetzt.
Wenn man nun die Funktion differenziert, so erhält man (bis auf Vorfaktor, die aber unwichtig sind) xm-n-1cosx-n+ xm-1sinx-n.
Der zweite Term verhält sich immer besser als der erste (die Potenz von x ist größer), daher müssen wir nur den ersten betrachten. Da gilt wieder, dass der Differenzenquotient (gegen 0) konvergiert, wenn m-1-(n+1)>=1.
Bei jedem Differenzierungsschritt wird der Exponent von x um n+1 kleiner, daher ist f k-mal differenzierbar, wenn:
m-1-(k-1)(n+1)>=1
Wenn wir das umstellen, gelangen wir zu unserer Formel.
Wenn ihr eine Musterlösung bekommt, wäre es schön, wenn Du sie mir zukommen lassen könntest. Ich würde gerne einen vollständigen Rechenweg sehen.
viele Grüße
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. April, 2001 - 15:54: |
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Hallo Curious
Kleine Anmerkung: Mit Deinem Ansatz überprüfst Du die Funktion auf STETIGE Differenzierbarkeit.
viele Grüße
SpockGeiger |
ariane
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 07:48: |
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Hallo Ihr alle,
danke! Ich druck mir das Ganze jetzt mal aus und denk dann genauer drüber nach. Falls dann noch was unklar ist geh ich Ecuh noch mal auf die Nerven!
Ariane |
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