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Dreifachintegral

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Erich
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Veröffentlicht am Dienstag, den 27. März, 2001 - 13:37:   Beitrag drucken

Berechnen sie das Volumen der Kugel x²+y²+z²=R².

Hinweis:Verwenden Sie die Substitution
x=r*sin beta*cos alpha
y=r*sin beta*sin alpha
z=r*cos beta

Danke!
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 22:36:   Beitrag drucken

Hi Erich,

Es ist das Zeitalter der Mehrfachintegrale ausgebrochen.
Bei diesem Boom wollen wir Dich nicht im Stich lassen

Um mit einem Dreifachintegral das Volumen einer Kugel
vom Radius R zu berechnen,führen wir Polarkoordinaten
des Raumes ein (Kugelkoordinaten).
Sei für P(x/y/z)
x = r * sin v * cos u
y = r * sin v * sin u
z = r * cos v

Das Volumenelement dV schreibt sich so:
d V = r ^ 2 * sin v * dr * dv * du
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Grenzen :

Für r: 0 bis R
Für u: 0 bis 2*Pi
Für v: 0 bis Pi

Die kleine Rechnung überlassen wir Maple und geben zu diesem Zweck folgendes ein:

int(int(int(r^2*sin(v),y=0..Pi),u= 0..2*Pi,r=0..R);
Resultat: 4 / 3 * Pi * R ^ 3.

Bei der Rechnung manu propria ( mit eigener Hand ) kannst Du
diesen Ansatz als Leitlinie wählen.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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