| Autor |
Beitrag |
    
Kutschy
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 07:54: | 
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Ich weiss nicht mehr weiter
Hilfe
Danke! |
Rainerle
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 08:34: |
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Hast Du den 'Heuser' daheim ? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 10:38: |
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Hi Kutschy,
Die äusserst wichtige Ungleichung von
Hermann Amandus Schwarz (1843 -1921),dem
Hauptbegründer der Variationsrechnung,
lautet:
Für beliebige Werte der reellen Konstanten
u1,u2,...un ; v1,v2,...,vn gilt:
[ sum(uk*vk) ] ^ 2 < = [sum(uk^2) ] * [ sum (vk^2) ].
Der Summationsindex k läuft dabei von 1 bis k.
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn
uk und vk zueinander proportional sind, d.h.
wenn die Quotienten
v1/u1,v2/u2, ....vn/un ein Konstante Q ergeben.
Um die von Dir vorgelegte Ungleichung mit der
SCHWARZschen Ungleichung
zu beweisen, setzen wir:
uk = ak , vk = (1 / ak ) * abs(ak)
Wegen dieses Ansatzes wird vk^2 = 1 für jedes k und somit
sum(vk^2) = n (Anzahl der Summanden)
Setzt man dies in die Ungleichung von
Hermann Amandus Schwarz ein, so entsteht die erwünschte
Ungleichung samt der Klausel für das Gleichheitszeichen:
Dieses gilt genau dann, wenn
vk / uk = abs(ak) / (ak)^2 = 1 / abs(ak) konstant ist ,d.h. wenn
abs(a1) = abs(a2) =... ....= abs(an) gilt, wie behauptet wird.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 21:06: |
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Hi Kutschy,
Zur Ergänzung meiner früheren Ausführungen noch dies:
Als eine einfache Variante der Schwarzschen Ungleichung
erwähne ich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Sie lautet:
Für reelle Zahlen u , r , v . s gilt:
(u * r + v * s) ^ 2 < = (u ^ 2 + v ^ 2) * ( r^ 2 + s^ 2 )
Der Beweis ist denkbar einfach; er geht so :
Wir bilden die Differenz D:
D = (u^2+v^2)*(r^2 +s^2) - (u * r - v * s ) ^ 2
D kann -und das ist der Witz- als Quadrat geschrieben werden:
D = (u * s - v * r ) ^ 2
Da D > = 0 gilt , ist die genannte Ungleichung bewiesen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 07:36: |
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Hi Kutschy,
Es ist möglich, die vorgelegte Ungleichung auch ohne den
Einsatz der Schwarzschen Ungleichung zu beweisen
Ich zeige Dir das für den Fall n = 4.
Wir benötigen dazu das folgende Lemma.
[ (x + y) / 2 ] ^2 < = ½ * ( x ^ 2 + y ^ 2 )
Bew.
½ * ( x ^ 2 + y ^ 2) - [(x + y) / 2] ^2 = [(x - y ) / 2] ^ 2 > = 0
Durch dreimalige Anwendung dieses Lemmas beweisen wir nun:
[(a+b+c+d) / 4] ^ 2 < = ¼ * (a^2+b^2+c^2+d^2) .
Bew.
[(a+b+c+d ) / 4] ^ 2 = [(u+v) / 2] ^ 2 < = ½ *(u^2+v^2) < =
½ * [ (a^2 + b^2 ) / 2 + ( c^2 + d^2 ) / 2 ] .
etc.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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