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Wildemar
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 20:01: | 
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O.K. ich schreib im Moment meine Facharbeit, und eine der Aufgaben ist, zwei parallele, konstante Graphen (z.B. g1(x)=2; g2(x)=-2) möglichst sanft zwischen zwei Stellen Ü1 und Ü2 zu verbinden (also mit möglichst geringer Krümmung der Gesuchten Funtion). Dabei ist h der vertikale Abstand zwischen g1 und g2 und d die Distanz zwischen Ü1 und Ü2.
Ich hab jetzt die Funktion:
f(x)=(-6h/d^5)*x^5+(5h/d^3)*x^3-(15h/8d)*x
Jetzt wird in meiner Literatur vorgeschlagen, man solle eine Funktion 7ten Grades der Form
f(x)=ax^7+bx^5+cx^3+ex
suchen, und dabei den letzten Koeffizenten e variabel lassen.
Ich würde nun gerne beweisen, dass diese Funktion nie (also für kein d) eine kleinere Maximalkrümmung als die ursprünliche hat.
Ich vermute also, dass die Maxima der Krümmunsfunktion für die Funktion 7ten Grades betragsmäßig immer über den Maxima der Krümmung der ersten Funktion liegen.
Wenn das so sein sollte, wie beweise ich das?
Danke für jegliche Hilfe ...
C.U.
Wildemar |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 08:18: |
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Hallo :
Verstehe ich das richtig : Du hast 2 parallele
Geraden g_1 : y = y_1 , g_2 : y = y_2 mit
|y_2 - y_1| = h, ferner 2 Punkte P_1 = (x_1,y_1) auf
g_1, P_2 = (x_2,y_2) auf g_2 , mit |x_2 - x_1| =d.
P_1 und P_2 sollen durch ein KurvenstŸck
C : y = f(x) , x_1 =< x =< x_2
verbunden werden, wobei f ein Polynom vom Grad 5 bzw. 7 ist. FŸr welches f wird das Maximum der KrŸmmung
k(x) = f"(x)/[1 + (f'(x))^2]^(3/2)
moeglichst klein ?
Wie kommst Du auf das obige f(x)?
Durch Anpassung des Koordinatensystems kann man
sicher o.B.d.A. annehmen, dass P_1 = (0,0) und
P_2 = (1,1) ist.
Hans |
Wildemar
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 12:47: |
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Du hast das ganz richtig verstanden ... 
Also Ü1 (bzw P_1 in deinem Posting) liegt beispielsweise bei (-4;2), Ü2 bei (4;-2) - d=8; h=4. Die ganze Schose ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. Mein erstes f(x) hab ich rausgefunden, indem ich einfach eine Funktionsbestimmung nach folgenden Vorgaben gemacht hab:
Punktsymmetrie:
f(x)=ax^5+bx^3+cx
Berührung von Ü2:
f(d/2)=-h/2
Dort auch gleiche Steigung wie g2:
f'(d/2)=0
Und dort auch keine Krümmung:
f''(d/2)=0
Naja, und dann kommt halt die obige Funktion heraus.
Vielleicht sollte ich das noch erwähnen: Es geht darum Gleise zu verbinden. g1 und g2 sind gerade Schienenstränge, die möglichst glatt ('krümmungsarm') verbunden werden sollen. Vielleicht hilft das bei der Vorstellung.
Ich hab mir überlegt, ob man vielleicht die Ortskurve der Krümmungsmaxima der Funktion 7ten Grades bestimmen sollte, um nachzuprüfen, ob es mal größer als die der gefunden Funktion wird. Ich hät' es nur gern 'ne Spur allgemeiner.
Falls Du (oder werauchimmer) irgend eine Idee hast, würde ich mich freuen.
danke für dein Interesse
C.U.
Wildemar |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 17:09: |
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Hallo :
FŸr die Polynomfunktion 7.Grades finde ich
g(x) = -(64e + 120h)*(x/d)^7 + (48e + 84h)*(x/d)^5
-(12e + 35h/2)*(x/d)^3 + e*(x/d).
HierfŸr soll e so bestimmt werden, dass das Minimum des KrŸmmungsradius moeglichst gross ist ?
Das dŸrfte nicht so einfach sein. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 17:19: |
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Hast du hier noch mal hingekuckt?
Soll das Maximum der zweiten Ableitung minimal oder der minimale Krümmungsradius maximal werden? |
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