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Isomorphie zwischen Vektorräumen

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Thorsten Seddig (Thorstens)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 14:03:   Beitrag drucken

Isomorphe Vektorräume zeichnen sich wohl dadurch aus, daß sich Rechnungen in dem einen Vektorraum in den anderen Vektorraum übertragen lassen.

Wie ist das praktisch an einem Beispiel zu zeigen?
Werden dieselben Rechnungen in dem anderen Vektorraum durchgeführt und nur die Elemente der Rechnungen an den neuen Vektorraum angepaßt?

Hoffentlich kann mir jemand dabei helfen...

Gruß

Thorsten
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Pille McCoy
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Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 15:39:   Beitrag drucken

Hallo Thorsten!
Das mit der Isomorphie stimmt tatsächlich. Zwei VR sind dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben und es eine bijektive lineare Abbildung von V1 nach V2 gibt. D.h., wenn ich in einem VR rechnen will, es aber nicht klappt, suche ich mir einen isomorphen VR und rechne in ihm.
Bsp: Der R2 also die normale Zahlenebene und die komplexen Zahlen. Sie sind isomorph.
Die Drehung in C ist klar mit der Eulerschen Formel, aber wie in R2? Nun, man nimmt sich eine bijektive lineare Abbildung von C nach R2. Das ist hier ganz einfach: T: (x,y)nach(x,i*y). Sie ist linear und bijektiv. Die Umkehrabbildung ist T':(x,i*y)nach(x,y).
Ich drehe in R2. Dazu transformiere ich zuerst nach C, drehe dort und transformiere zurück.
Der Punkt 2,3 soll um 60°um den Ursprung gedreht werden. Aus (2,3) wird (2,3i) in C.
Daraus wird sqrt(13)*e^(i*56) mit der Eulerformel und gedreht dann sqrt(13)e^(i*(56+60)). Der Drehendpunkt ist dann (-1,58,3,23i). Zurück in R2 bedeutet das: (2,3) um 60° gedreht ist (-1,58,3,23). Fertig.
Ich hoffe, daß das ein bißchen geholfen hat.
Noch einmal: Für eine komplizierte Operation in einem VR sucht man sich einen Isomorphen, dann eine lineare Bijektion. Dann können nacheinander Transformaton, Operation, Retransformaton ausgeführt werden. Gut Holz
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Thorsten Seddig (Thorstens)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 18:43:   Beitrag drucken

Super, Danke schön

das hilft mir schon weiter. Mir ist dabei auch klar geworden, das Rechnungen in isomorphen Vektorräumen unter Umständen nichts miteinander zu tun haben. Es geht schließlich um die Interpretation über die Elemente, die in die Rechnung eingeflossen sind.
Ausserdem scheint es mir häufig der fall zu sein, das es die einfachen Anschauungsräume und fiktive mathematische Modell-Räume sind, die mathematische Rechnungen in Anschauungen wandeln.

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