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Erich
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 12:35: | 
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Mit Hilfe der Lagranschen Regel bestimme man
a) den kleinsten Abstand der Geraden ax+by=c vom Nullpunkt und
b)den kleinsten Abstand des Punktes (3;12) von der Parabel y²= 6x.
Auch diese Lösung wird sehr dringend benötigt!
MFG! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 16:28: |
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Hi Erich,
Erste Aufgabe
°°°°°°°°°°°°°°°
Das Quadrat des Abstandes eines Punktes P(x/y) wird durch
die Funktion
f(x,y) = x^2 + y^2 ausgedrückt.
Als Nebenbedingung fungiert die Funktion
g (x,y) = ax + by - c = 0 .
Mit dem Lagrangeschen Multiplikator L bilden wir
F(x, y ,L) = f(x, y) + L * g(x, y) =
= x ^ 2 + y ^ 2 + L * ( ax + by - c )
Nun berechnen wir die partiellen Ableitungen
Fx (F nach x), Fy (F nach y ) , FL (F nach L )
und setzen diese einzeln null
Es entsteht das folgende Gleichungssystem für x , y , L :
Fx = 2x + aL = 0
Fy = 2y + bL = 0
FL = ax + by - c = 0
Die Lösungen, welche das Extremum liefern
(in diesem Fall den minimalen Abstand), sind:
wegen y = b /a * x :
x = a * c / (a^2 + b^2) , y = b* c / ( a^2 + b^2 )
Minimaler Abstand:
Dmin =wurzel( c^2 / [a^2 + b^2] ), ein Resultat, das man auch
mittels der Normalform der Geradengleichung gemäss Hesse
bekommt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 16:57: |
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Hi Erich,
Zweite Aufgabe
°°°°°°°°°°°°°°°°
Das Quadrat des Abstandes eines Punktes P(x/y) vom
gegebenen Punkt ( 3 / 12 ) wird durch die Funktion
f(x,y) = ( x - 3 ) ^ 2 + ( y - 12 ) ^ 2 ausgedrückt.
Als Nebenbedingung fungiert die Parabelgleichung
g (x,y) = y ^ 2 - 6 x = 0 .
Mit dem Lagrangeschen Multiplikator L bilden wir
F(x, y ,L) = f(x, y) + L * g(x, y) =
= ( x - 3 ) ^ 2 + ( y - 12 ) ^ 2 + L * ( y ^ 2 - 6 x )
Nun berechnen wir die partiellen Ableitungen
Fx (F nach x), Fy (F nach y ) , FL (F nach L )
und setzen diese einzeln null
Es entsteht das folgende Gleichungssystem für x , y , L :
Fx = 2 * ( x -3 ) - 6 * L = 0
Fy = 2 * ( y -12 ) + 2 * y * L = 0
FL = y ^ 2 - 6 * x = 0
Die Lösungen, welche das Extremum liefern
(in diesem Fall den minimalen Abstand), sind:
wegen (x-3) / (y-12) = - 3 / y , also x * y = 36:
x = 6 , y = 6
Minimaler Abstand:
Dmin =wurzel( (6-3)^2 +(6-12)^2 ) = wurzel(45)
Kontrolle :
Die Steigung m der Tangente im Parabelpunkt (6/6) ist
m = 3/6 = ½ ;die Steigung der Verbindungsgeraden der
Punkte (3 / 12) und (6 / 6) ist dazu entgegengesetzt reziprok,
wie es sein muss.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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