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Beitrag |
    
Erich
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 12:28: | 
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Es sei g(x) folgendermassen definiert:
f(x,y)=y-xtan(Pi/2(x²+y²))
f(x,g(x))=0
a) Geben sie das Taylorpolynom inkl. der quadratischen Terme um den Punkt(-Wurzel2 ;0) an.
b) Wie lautetdie Schmiegparabel im Punkt (-Wurzel 2 ;0)?
Lösung sehr dringend.
Danke! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 19:20: |
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Hallo :
a) Das Taylorpolynom n-ter Ordnung von f(x,y) im Punkt P= (x_0,y_0) lautet in symbolischer Notation
sum[k=0..n]{(1/k!)[(x-x_0)D_x + (y-y_0)D_y]^k f}P.
Dabei ist (D_x f)P = f_x(x_0,y_0) die partielle Ableitung von f im Punkt P , (D_x)^2 := D_xx , D_x D_y := D_xy , u.s.w. Hier ist n=2, man muss
also einfach die Werte der partiellen Ableitungen
bis zur Ordnung 2 incl. ausrechnen.
Ich nehme an, die Funktion lautet
f(x,y) = y - x*tan[(Pi/2)*(x^2+y^2)].
Das gesuchte Taylorpolynom heisst dann (rechne
selbst !) :
-2Pi*(x+sqrt(2))+y + (3Pi*sqrt(2)/2)*(x+sqrt(2))^2
+ (Pi*sqrt(2)/2)*y^2 .
b) Man muss jetzt das Taylorpolynom 2-ter Ordnung
der implizit definierten Funktion y= g(x) an der
Stelle x_0 = - sqrt(2) bestimmen.
Es ist g(x_0) = 0 , die benoetigten Ableitungen
erhaelt man aus den Gleichungen
f_x + f_y*y' = 0 ,
f_xx + 2 f_xy *y' + f_yy*(y')^2 + f_y*y" = 0.
Mit etwas Geduld wirst Du das schaffen.
Gruss
Hans |
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