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Beitrag |
    
Herzi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 12:13: | 
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Eine Lösung von sin(x²+y²)=0 und cos(x²-y²)=0 liegt in der Nähe von(1,5/0,9). Führen Sie zwei Schritte des Newtonverfahrens durch.
Lösung wird dringend benötigt!
Danke bussi aufs Bauchi!!! |
Georg (Hgs)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 13:52: |
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x² + y² = 0 entfällt vermutlich, weil nur der Punkt (0/0)
x² + y² = p
f(x) = ( p - x² )1/2
f'(x) = ½( p - x² )-1/2
Newton : x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)
Einsetzen ergibt den ersten Schritt. Muss weg. Hoffe, das hilft dir. |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 17:04: |
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Hallo Herzi,
Also ich nehme doch an, dass es sich hier um 2 Simultangleichungen von Funktionen zweier Variabler handelt.
Das Newton Verfahren beruht auf der Taylorentwicklung, die nach dem linearen Glied abgebrochen wird.
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Für jede der beiden Funktionen stellen wir folgende Gleichung auf:
f(x0,y0) + (x1 - x0)*fx(x0,y0) + (y1 - y0)*fy(x0,y0) = 0
Es bedeuten:
x0, y0........die Ausgangswerte
x1, y1........die verbesserten Werte
fx und fy.......die partiellen Ableitungen
Es ist also: fy(x0,y0)......partielle Ableitung von f(x,y) nach y an der Stelle (x0,y0)
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Ich bezeichne unsere beiden Funktionen:
f1(x,y) = sin(x²+y²)
f2(x,y) = cos(x²-y²)
Die Ableitungen:
f1x = 2xcos(x²+y²)
f1y = 2ycos(x²+y²)
f2x = -2xsin(x²-y²)
f2y = 2ysin(x²-y²)
Ausgangswerte x0 = 1.5 und y0 = 0.9
ergibt:
sin(x0²+y0²)+2x0(x1-x0)cos(x0²+y0²)+2y0(y1-y0)cos(x0²+y0²) = 0
cos(x0²-y0²)-2x0(x1-x0)sin(x0²-y0²)+2y0(y1-y0)sin(x0²-y0²) = 0
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Werte eingesetzt:
6,181141927 - 2,990019498x1-1,794011698y1 = 0
2,985823751-2,974375044x1+1,784625027y1 = 0
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Aus diesen beiden Gleichungen:
x1 = 1.535553590
y1 = 0.8861741278
Diese beiden Werte dienen nun als Ausgangswerte für die zweite Iteration.
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ergibt:
6,284813645-3,071103066x2-1,772345882y2 = 0
3,143411340-3,071102072x2+1,772345308y2 = 0
Aus diesen beiden Gleichungen:
x2 = 1,534990165
y2 = 0,8862269266
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Zur Kontrolle die Werte in die Funktionen eingesetzt:
f1(x0,y0) = 0,0815
f2(x0,y0) = 0,1304
f1(x1,y1) = -0,00163
f2(x1,y1) = -0,00182
f1(x2,y2) = -0,000003184
f2(x2,y2) = -0,000003152
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Man sieht also die rasche Annäherung an Null.
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Anmerkung: Man muss nicht mit so vielen nichtssagenden Dezimalen rechnen:
ich habe die einfach kopiert.
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