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michy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Oktober, 2002 - 10:03: | 
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brauche dringend hilfe:
Es seien a.b e R nun beweise:
a) Aus 0<a<b folgt 0<a²<b²
b) Aus 0<a<b folgt (wurzel)a < (wurzel)b (beweis durch Widerspruch von (a) ?!?
c) Aus 0<a<b folgt: 0<a<(wurzel) aus ab<(a+b)/2<b
wär für schnelle hilfe echt dankbar!! |
Jo Kaplan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Oktober, 2002 - 22:15: |
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a)
a < b |*a , wobei gilt: a>0
=> a² < ab (1)
a < b |*b , wobei gilt: b>0
=> ab < b²
=> a² < b²
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bleibt z.Z.: 0<c => 0<c², setze oben ein:
a=0 und b=c => 0² < c², und damit auch 0 < a²
b)
nimm an: wurzel(b) < wurzel(a)
aus a) ist bekannt: für c,d mit 0<c<d gilt:
0<c²<d², setze nun: c:=wurzel(b), d=wurzel(a), also würde aus
der Annahme wurzel(b) < wurzel(a) dann folgen:
(wurzel(b))² < (wurzel(a))² =>
b < a => Widerspruch zu a < b.
bleibt der Fall:
wurzel(b) = wurzel(a) => b = a => ebenfalls Widerspruch zu a < b.
Widersprüche bedeuten: die Annahmen müssen falsch gewesen sein => wenn wurzel(b) < wurzel(a) und wurzel(b) = wurzel(a) falsch sind, ist nur
wurzel(b) > wurzel(a) noch richtig.
c)
gegeben: 0 < a < b
Beh.:
1) a < wurzel(ab)
2) wurzel(ab) < (a+b)/2
3) (a+b)/2 < b
Bew. von 1)
a < b |*a
a² < ab
aus b) ist bekannt, dass für c,d gilt:
0 < c < d => wurzel(c) < wurzel(d)
setze c=a² und d=ab, damit folgt für a² < ab:
wurzel(a²) < wurzel(ab)
a < wurzel(ab)
==============
Bew. von 2)
(a-b)² >= 0
a² -2ab + b² >= 0 |+4ab
a² +2ab + b² >= 4ab
(a+b)² >= 4ab |Wurzel ziehen
a+b >= 2wurzel(ab) |:2
(a+b)/2 >= wurzel(ab)
=====================
Bew. von 3)
a < b |:2
a/2 < b/2 |+b/2
(a+b)/2 < b
===========
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Jo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Oktober, 2002 - 22:17: |
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a) ist teils verschwunden.
a < b |*a , wobei gilt: a>0
=> a² < ab (1)
a < b |*b , wobei gilt: b>0
=> ab < b² (2)
(1) verkettet mit (2):
a² < ab < b², also
a² < b²
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Jo
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Oktober, 2002 - 22:43: |
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c)2) ist unvollständig. Wo hatt ich denn dabei nur meine Gedanken?
also nochmal:
c) gegeben: 0 < a < b
Beh.: wurzel(ab) < (a+b)/2
Bew.:
a < b |-a
0 < b-a |(..)², aus a) ist bekannt, dass aus c<d folgt: c² < d², setze hier: c=0, d=b-a =>
0² < (b-a)²
0 < b² - 2ab + a² |+4ab
4ab < a² +2ab + b²
4ab < (a+b)² |Wurzel ziehen , aus b) ist bekannt, dass dann auch die Wurzel der linken Seite kleiner ist als die der rechten:
2wurzel(ab) < a+b |:2
wurzel(ab) < (a+b)/2
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