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awott
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 11:59: | 
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Beweisen Sie:
Summe k^2 von k=1 bis n = 1/6*n*(n+1)*(2n+1)
Hilfe dringend gesucht! |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 585
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 12:33: |
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die Summe sei S(n); damit die Formel stimmt, muß sie für n=1 stimmen,
und
S(n) - S(n-1) = n^2 muß gelten
(eine,
zugegebenermaßen eigenwillige formulierung der vollständigen Induktion
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung widerspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[aus dem Vorwort zu Georg Pólyas Buch "Mathematik und Plausibles Schliessen, Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik]
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Thomas (johnnie_walker)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: johnnie_walker
Nummer des Beitrags: 236
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 20:49: |
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Hi,
hier noch die konservative Version :
Induktionsanfang :
n=1 => 1=1/6*1*2*3=1 w.A.
Induktionsvoraussetzung :
Es gelte die Gleichung für ein beliebiges festes n Element IN
Zu zeigen : Es gilt auch für n+1
Sn k=1 (k2)+(n+1)2 = 1/6*n*(n+1)*(2n+1)+(n+1)2
1/6 * (n+1) ausklammern
= 1/6 * (n+1) *((2n2+n+6n+6)
= 1/6 * (n+1) *(2n2+7n+6)
= 1/6 * (n+1) *2(n2+3,5n+3)
Satz des Vieta
= 1/6 * (n+1) *2(n+1,5)(n+2)
= 1/6 * (n+1) *(2n+3)(n+2)
= 1/6 * (n+1) *(2(n+1)+1)(n+2)
q.e.d., da Ausgangsgleichung mit (n+1) statt n erreicht ist
Gruß, Thomas |
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