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Daten eines Rotationszylinders

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Geometrie » Daten eines Rotationszylinders « Zurück Vor »

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Lisette P.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 06:02:   Beitrag drucken

Hallo,

Wer kann mir dabei helfen, die folgende Aufgabe aus der
Analytischen Geometrie des Raumes zu lösen?
Die Aufgabe lautet folgendermaßen

Die Gleichung x ^ 2 – 2 x z + 2 y ^ 2 + z ^ 2 – 24 y := 0
stellt einen Rotationszylinder dar.
Man bestimme den Radius und eine Gleichung der
Achse des Zylinders.

Vielen Dank im Voraus.
Lisette.
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 07:51:   Beitrag drucken

Hi Lisette,

Zur Lösung Deiner Aufgabe gehen wir von der Tatsache aus,
dass jeder ebene Schnitt eines Rotationszylinders eine Ellipse ist,
sofern die Schnittebene nicht parallel zu einer Mantellinie des
Zylinders gelegt wird.
Die Achse des Zylinders durchstößt die Schnittebene im
Mittelpunkt der Schnittellipse und der Radius des Zylinders
stimmt mit der kleinen Halbachse der Ellipse überein.
Wir wählen zwei Schnittebenen aus:
Zum einen die (x,y)-Ebene z = 0 ,zum andern die dazu parallele
Ebene z = 0.

Setzen wir also z = 0 in die Zylindergleichung ein; so kommt
x ^ 2 + 2 y ^ 2 – 24 y = 0 als Gleichung der Schnittellipse.
Mittels der quadratischen Ergänzung findet man leicht den
Mittelpunkt M und die Halbachsen a und b (a>b)
der Schnittellipse.
Ergebnis:
x ^ 2 + 2 ( y – 6) ^ 2 = 72 oder
x ^ 2 / 72 + ( y – 6 ) ^ 2 / 36 = 1.
a = wurzel(72) = 6*wurzel(2)
b = wurzel(36) = 6
Koordinaten von M : xM = 0, yM = 6, zM = 0 , also M(0/6/0).

Teilresultat: Der Radius r des Zylinders ist r = b = 6.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° °°°

Setzen wir weiter z = 1 in die Zylindergleichung ein; so kommt
x ^ 2 – 2 x + 2 y ^ 2 + 1 – 24 y = 0 als Gleichung der Schnittellipse.
Mittels der quadratischen Ergänzung findet man auch hier den
Mittelpunkt N der Schnittellipse, die Halbachsen benötigen wir nicht
Ergebnis:
( x – 1 ) ^ 2 + 2 ( y – 6) ^ 2 = 72 oder
( x – 1 ) ^ 2 / 72 + (y – 6 ) ^ 2 / 36 = 1.
Koordinaten von N : xN = 1, yN = 6, zN = 1 , also N(1 / 6 / 1).

Der Verbindugsvektor v = MN = { 1 ; 0 ; 1 } der Punkte M , N
ergibt einen Richtungsvektor der gesuchten Zylinderachse.


Da die Achse des Zylinders durch den Punkt M geht, können
wir eine Parametergleichung mit t als Parameter dieser Achse
anschreiben, nämlich

x = t , y = 6 , z = t
°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
überallhin
H.R.Moser,megamath




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Orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 329
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 08:43:   Beitrag drucken

Lisette,

Lösungsvorschlag: Schreibe die Gleichung
in der Form

(1) (x-z)2 + 2(y-6)2 = 72

Daran erkennt man, dass die Schnittkurve der
Fläche mit jeder zur (x,y)-Ebene parallelen Ebene z=c eine Ellipse mit Mittelpunkt
Mc = (c,6,c) und den Halbachsen
a = 6*sqrt(2), b = 6 ist. Die Zylinderachse
ist also z.B. durch M0 und M1 gegeben.
Damit ist auch der Radius leicht zu ermitteln
(Grundaufgabe Distanz Punkt-Gerade)





mfg

Orion
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Lisette P.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 14:18:   Beitrag drucken

Ich danke Euch beiden, megamath und Orion,
für die Hilfe, ich werde mir das gleich genauer ansehen und werde es dann hoffentlich begriffen haben!!!

Gruß von Lisette
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mira
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 16:47:   Beitrag drucken

Hi, megamath!

Ich habe das zwar noch nicht gelernt,
das Kapitel interessiert mich aber sehr
und nun hätte ich Fragen dazu:

Kann ich aus der Gleichung allein erkennen,
dass es sich um einen Rotationszylinder handelt?
Oder muss in der Angabe stehen, worum es geht?

Ich habe in meinem Formelhelft gesucht
und dazu gefunden:
Klassifizierung der Kurven und Flächen zweiter Ordnung nach ihren Invarianten und da
eine allgemeine Gleichung der Kurven zweiter Ordnung:
ax^2 + by^2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0

Was fällt denn nun unter Kurven und Flächen zweiter Ordnung
bzw. was sind dann Kurven und Flächen erster Ordnung?
Das konnte ich nicht herausfinden.

Noch eine Frage zur Angabe:
Warum ist die Gleichung "definitionsgemäß gleich null" gegeben?
oder hat sich da nur ein Druckfehler eingeschlichen?

Und noch etwas:
megamath, im ersten Absatz schreibst Du am Schluss zweimal z=0.
Ich nehme an, Du wolltest das 2. Mal z=1 schreiben -
oder verstehe ich da etwas falsch???

Ich bedanke mich schon jetzt,
wenn Du Dich meiner
und meiner vielen Fragen annimmst!

Viele Grüße
mira
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 17:27:   Beitrag drucken

Hallo Lisette P.,

Es ist sehr verdienstvoll, dass Du Dich bei Orion und mir für die
Lösungen Deines Problems bedankt hast; ein solches Ereignis ist
eher selten.
Zur Belohnung dafür werde ich Dir morgen eine raffinierte Methode
zeigen, wie man eine Probe aufs Exempel durchführen kann:
Thema wird sein:
„Die Umhüllende oder Enveloppe einer Flächenschar“.
Bis dann !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mira
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 19:48:   Beitrag drucken

Hi Mira,

Du bist nach meinem Dafürhalten eine sehr aufmerksame und
zielstrebige Studentin.; Glückwunsch.!
Natürlich muss es in der von mir verfassten Lösung der Aufgabe von
Lisette an einer bestimmten Stelle z = 1 und nicht z = 0 heißen..
Das geht schon aus dem Zusammenhang hervor.
Ich habe mir nur einen Tippfehler geleistet; es ist nicht der erste ,
und es wird auch nicht der letzte sein.

Über die Flächen zweiter Ordnung werde ich demnächst ein
kurzes Exposé (das hat mit der Expo 02 absolut nichts zu tun)
ins Board stellen.

Bis dann !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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mira
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 20:11:   Beitrag drucken

megamath,
dafür bedanke ich mich jetzt schon
und bin schon gespannt auf Deine weiteren Ausführungen,
die ich immer wieder gerne lese
und die mir sehr gut gefallen,
weil Du alles sehr klar und schön beschreibst!

Ich freu mich schon darauf

mira
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 07:03:   Beitrag drucken

Hi Lisette,

Ich führe Dir nun die angekündigte Überprüfung des Resultates
Deiner Aufgabe vor, wonach
x = t , y = 6 , z = t eine Parameterdarstellung der Zylinderachse
a ist.
Der Radius des Zylinders ist - nach dieser Rechnung -
r = 6.
Wir zeigen nun mit Hilfe der Differentialrechnung,
dass der betreffende Zylinder die folgende Gleichung
haben muss:
x ^ 2 – 2 x z + 2 y ^ 2 + z ^ 2 – 24 y := 0. und zwar auf
eine ziemlich unkonventionelle Art.
Wir betrachten eine (einparametrige) KUGELSCHAR:
alle Kugeln dieser Schar haben den festen Radius r = 6,
ihre Mittelpunkte M(t) liegen auf der gegebenen Achse a
M(t) ist identisch mit dem laufenden Punkt P(t) von a

Die Gleichung einer solchen allgemeinen Kugel der Schar lautet:
F(x,y,z,t) = ( x – t ) ^ 2 + ( y – 6 ) ^ 2 + ( z – t ) ^ 2 - 36 = 0.
( wir bezeichnen die linke Seite der auf null gebrachten
Kugelgleichung zur Abkürzung mit F(x,y,z,t) )

Jetzt ermitteln wir die so genannte Enveloppe der Schar..
Diese Umhüllende ist gerade der genannte Zylinder, denn
dieser berührt alle Kugeln der Schar.
Umgekehrt ist jede einzelne Kugel eine Inkugel des Zylinders.

Nach der gängigen Lehre wird die Gleichung der Schar
nach dem Parameter t partiell abgeleitet. Diese Ableitung sei
mit P(x,y,z,t) bezeichnet ; sie lässt sich sehr einfach ermitteln.
Beachte, dass F nach t abgeleitet wird und dass dabei x,y,z
in die Rolle von Konstanten versetzt werden

Das Ergebnis lautet:
P(x,y,z,t) = -2 (x - t) – 2 (z – t)
Aus den Gleichungen
F(x,y,z,t) = 0 und
P(x,y,z,t) = 0 wird
der Parameter t eliminiert.
Die Gleichung P = 0 liefert t = ½ (x + z), also
x – t = ½ ( x – z )
z – t = ½ ( z – x )
Setzt man dies in die Gleichung F = 0 ein, so kommt
¼ ( x –z ) ^ 2 + ( y – 6 ) ^ 2 + ¼ ( z – x ) ^ 2 - 36 = 0 , vereinfacht

x ^ 2 – 2 x z + 2 y ^ 2 + z ^ 2 – 24 y := 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dies ist gerade die vorgegebene Gleichung der Zylinderfläche,
die somit als Enveloppe einer Kugelschar erscheint, wie vorausgesagt
worden ist.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



I
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H.R.Moser,megamath
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 13:35:   Beitrag drucken

Hi Mira,

Hier das versprochene, umständehalber kurze Memorandum
bezüglich der Flächen zweiter Ordnung.

Die allgemeine Gleichung zweiten Grades in den Variablen
x,y,z und damit die allgemeine Form der Gleichung einer
Fläche zweiter Ordnung lautet so:
a11* x^2 + 2 a12 *xy + 2 a13*xz +
…………+.a22* y^2 + 2 a23*yz +
…………………........+ a33*z^2 +
+2 b1*x+2 b2*y+2 b3*z
= c
Die Koeffizienten aik mit aik = aki können zu einer
symmetrischen (3,3)-Matrix A zusammengefasst werden
Zu yz gehört der Koeffizient a23,zu zy der Koeffizient
a32 = a23 , daher erhalten wir insgesamt den
Term 2* a23*yz in der obigen Form,. und das Auftreten
der Faktoren 2 ist damit geklärt.

Die Summe der quadratischen Terme in den ersten drei
Zeilen bilden die so genannte quadratische Form,
die über den Typus der Fläche Auskunft gibt.
Wir wählen die Bezeichnung Phi(x,y,z) für die Form
und schreiben:
Phi(x,y,z) = a11* x^2 + 2 a12 xy + ….a33*z^2
Durch Einführung eines geeigneten Koordinatensystems lässt
sich jede quadratische Form in eine ebensolche überführen,
in der keine gemischten Terme xy, yz und xz mehr auftreten.
Das entsprechende Verfahren heißt Hauptachsentransformation,
und unter diesem Titel kannst Du in den Schlagwortverzeichnissen
Deiner Bücher suchen und fündig werden.

Nach erfolgreicher Ausführung einer solchen Transformation nimmt
die Gleichung der Fläche die Gestalt an
L1*X^2 + L2*Y^2 + L3*Z^2 +2B1*X +2B2*Y +2B3*Z = c
Hierbei sind L1,L2,L3 die Eigenwerte der Matrix A, und
X,Y,Z sind die Koordinaten im neuen (X,Y,Z)-Koordinatensystem,
welches aus dem alten (x,y,z)-Koordinatensystem durch eine
Drehung entstanden ist..
Die Konstante c rechts bleibt bei einer solchen Transformation
netterweise unverändert.

Die zuletzt angegebene Gestalt der Flächengleichung eignet sich
zur Typisierung der Fläche zweiter Ordnung.
Es gibt prima vista neun Flächentypen, die ich Dir kommentarlos
nenne:
Ellipsoid, einschaliges Hyperboloid, zweischaliges Hyperboloid,
Kegel zweiter Ordnung, elliptischer Zylinder, hyperbolischer Zylinder,
parabolischer Zylinder, elliptisches Paraboloid, hyperbolisches Paraboloid.

Dazu kommen imaginäre Flächen und ausgeartete Flächen,
z.B.Ebenenpaare.
Ferner kreuzen als Sonderfälle bekannte Rotationsflächen auf,
beispielsweise die Rotationsellipsoide etc.

Für den Zylinder aus der Aufgabe von Lisette lauten die
Koeffiziente aik so:
a11 = 1 , a12 = a21 = 0 , a13 = a31 = - 1 , a22 = 2 , a23 = a32 = 0 ,
a33 = 1
Die drei Eigenwerte ergeben sich als Lösungen der kubischen Gleichung
(1-L)(2-L)(1-L) + L – 2 = 0 , also L (L - 2) ^ 2 = 0 mit den Lösungen
L1 = L2 = 2 , L3 = 0,woraus der Kenner sofort die Rotationsfläche und
speziell den Rotationszylinder erkennt.

Viel Vergnügen beim Studium meiner Ausführungen wünscht
H.R.Moser,megamath


















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Lisette P.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 15:12:   Beitrag drucken

Hi,
megamath,

ich danke Dir sehr für Deinen Nachtrag,
das ist wirklich eine raffinierte Methode,
die ich nicht kannte!

Alles konnte ich sehr gut nachvollziehen,
bis dorthin, wo Du schreibst:
"...nach der gängigen Lehre..."
Die Gleichung der Schar wird also nach dem Parameter t abgeleitet
und null gesetzt.
Warum?
Was ist die Theorie dahinter?
Oder steh ich auf der Leitung?

Mit herzlichen Grüßen
Lisette


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mira
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Oktober, 2002 - 04:33:   Beitrag drucken

Danke für Deine Mühe, megamath!

Zwar blicke ich da noch nicht ganz durch,
ist noch etwas zu hoch für mich,
aber ich habe eine gute Übersicht erhalten,
die mir sicher später weiterhelfen wird!

Ich werde weiterhin Deine Beiträge lesen,
die sind gut!

Gruß von mira

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