| Autor |
Beitrag |
    
Wolfgang Burkhard (Rajan)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. März, 2001 - 21:23: | 
|
Hallo!
Das ist mein erster Übungszettel zum Thema Rekursion. Daher brauche Hilfe zu dieser Aufgabe und eine Erklärung warum:
Man berechne die allgemeinen und die spezielle Lösung der Rekursionen:
an+2 - an+1 = 6an(n>0); ao =-1, a1=1
Danke
Wolfgang |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. März, 2001 - 07:55: |
|
Hallo :
Bei der Gleichung
(1) a_(n+2) - a(n+1) - 6 a_n = 0
handelt es sich um eine homogene lineare
Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten. Die Menge der Loesungsfolgen (a_n)
bildet, wie man unmittelbar sieht, einen reellen
Vektorraum der Dimension 2. Man braucht also
zwei linear unabhaengige Loesungsfolgen (u_n),
(v_n). Probiert man es einmal mit geometrischen
Folgen, geht also mit dem Ansatz
(2) a_n = r^n
in (1) ein, so erhaelt man fŸr r die sog. charakteristische Gleichung
(3) r^2 - r - 6 = 0
mit den beiden Loesungen r_1 = -2 , r_2 = 3.
Somit sind (Einsetzprobe !)
(4) u_n = (-2)^n , v_n = 3^n
die gesuchten Fundamentallloesungen. Die allgemeine Loesung von (1) lautet somit
(5) a_n = A*(-2)^n + B*3^n.
Die Anfangsbedingungen ergeben 2 Gleichungen fŸr
die Koeffizienten A,B.
Gruss
Hans |
|
