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Beitrag |
    
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. März, 2001 - 02:27: | 
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Das Problem:
Kann ein Quadrat (oder vielleicht auch ein Parallelogramm) in eine ungerade Anzahl flächengleicher Dreiecke zerlegt werden ?
Ich kenne weder ein Gegenbeispiel noch einen Beweis. Hat jemand eine Idee ? |
Lnexp (Lnexp)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 23:55: |
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Das Problem besteht noch (für mich) |
ln1
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 15:21: |
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Kann aus einer ungeraden Anzahl von flächengleichen Dreiecken ein Quadrat konstruiert werden?
Vielleicht bringt dich das (minimal) weiter... |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 23:13: |
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Interessante Aufgabe!! Wo ist sie her? Momentan bin ich der Ansicht, dass nein. Kann das aber auch nicht beweisen :-(
Zaph |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 00:16: |
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... doch es geht!
Kann ein Quadrat in elf flächengleiche Dreiecke zerlegen :-)
Wenn dies keine Wettbewerbsaufgabe ist, erzähle ich dir die Lösung gern... |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 02:21: |
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Es ist keine Wettbewerbsaufgabe.
Ich habe mir nur gedacht, dass es nicht geht, kanns aber nicht beweisen.
Erzähle oder besser: führe die Lösung vor |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 18:31: |
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Deine Zweifel sind berechtigt - da war ich wohl etwas vorlaut.
Meine vermeintliche Lösung hat sich als Flopp entpuppt :-(
Nachfrage: Das Problem stammt von dir selbst??
Ich denke weiter drüber nach ... |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 21:38: |
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Ja, oder ehrlich gesagt von meinem Freund, der Auch Mathematik studiert hat; der hat die Frage aber wirklich selbst "erfunden", weiss die Lösung aber auch nicht. Er vermutet, dass es auf Parallelogramme verallgemeinerbar ist. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 22:00: |
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Die Verallgemeinerung mit den Parallelogrammen (so oder so) glaube ich sofort. Denn wenn ein Beispiel in einem Parallelogramm gefunden ist, kann man es doch einfach in ein Quadrat-Beispiel transformieren.
Herantasten an eine Lösung:
Wenn das Quadrat die Ecken (0,0), (0,1), (1,1) und (1,0) hat und in n flächengleiche Dreiecke zerlegt wird, stimmt es, dass dann die Ecken der Dreiecke rationale Koordinaten haben? |
trinity
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 22:41: |
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ok, das is ne harte nuss, aber ich will mal einen
ansatz wagen:
sagen wir A ist der flächeninhalt der dreiecke
und a die seitenlänge des quadrates. da nun eine
ungerade zahl an flächengleichen dreiecken gleich
dem flächeinhalt des quadrates sein soll, muß
gelten: (2n+1)A=a²
daraus würde folgen, dass die seitenlänge sein
müßte: a=wurzel((2n+1)A).
nun an einem beispiel n=1; a=wurzel(3)*wurzel(A);
a würde nun also irrational werden.
d.h. mindestens, das nicht beliebige lösungen
existieren können.
nun eine these: wenn wurzel((2n+1)A) nicht irrational, oder anders gesagt, wenn (2n+1)A eine
quadratzahl ist, dann könnte eine lösung
existieren. oder? ok, ich denk mal weiter... |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 23:58: |
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Hää??
Wenn A = 1/3 wäre, dann ist a = 1 doch rational...
Wir gehen ja vom Quadrat, also von a aus. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir dann a = 1 annehmen. Dann ist A = 1/(2n + 1) bei 2n + 1 Dreiecken. (Also ist A dann natürlich rational.)
Meine Frage (Hypothese) war, ob auch die *Koordinaten* der Eckpunkte der Dreiecke zwangsläufig rational sein müssen.
Morgen habe ich eine lange Bahnfahrt vor mir. Mal sehen, ob das was produktives liefert ;-) |
lnexp
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 02:22: |
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Ich glaube nicht, dass es um rational oder irrational geht. Beim Quadrat kann man wohl die Seitenlänge 1 annehmen, denn nach dem Strahlensatz kann man dieses beliebig strecken, auch auf irrationale Längen. |
sophie (Smartiesophie)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 20:13: |
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hi leute..
eine interessante diskussion habt ihr da!-ich bin zwar kein student oder so und auch erst in der 9ten, aber meine meinung sag ich euch trotzdem:
also ich glaube, dass diese geschichte auf gar keinen fall mit einem quadrat funktioniert, wie soll das denn gehen, ihr müsst euch das doch nur ma' vorstellen....oder aufzeichnen, ihr könnt doch auch aus einer ungeraden zahl dreiecken kein quadrat machen, das geht wirklich nicht...bei einem parallelogramm geht das auch nicht,
ich weiss nicht genau wie ich das erklären soll, dass hat aber was mit den seiten zu tun...
/\/\/ <---das soll ein p. sein...
jetzt haben wir 4 dreiecke, auf jeder seite des paras zwei (offene)dreiecks-seiten, und mit einer ungeraden zahl geht das gar nicht..
vielleicht fällt mir noch ne' gleichung ein oder so....mal schauen, jetzt geh ich aber fernseh gucken...
cu, sophie |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 22:05: |
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Hallo Sophie und lnexp.
Komme gerade von der Zugfahrt zurück. Leider keine Erfolgsmeldung.
Sophie: Natürlich kannst du ein Quadrat in z. B. drei Dreiecke zerlegen: Zeichne in das Quadrat eine Diagonale und eine "halbe Diagonale", also eine Strecke vom Mittelpunkt des Quadrats zu einer Ecke. Allerdings haben die Dreiecke nicht denselben Flächeneninhalt; das eine ist doppelt so groß wie die anderen beiden.
lnexp: Dass man für das Quadrat die Seitenlänge 1 annehmen kann, ist mir klar. Meine Frage war: Wenn es die Seitenlänge 1 hat und in n (gerade oder ungerade) viele flächengleiche Dreiecke zerlegt wird, haben dann die Ecken der Dreiecke rationale Koeffizienten?? (Ob das allerdings helfen würde, weiß ich noch nicht.) |
23
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 22:13: |
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das kann doch garnicht funkionieren. ich meine ein dreieck hat eine innenwinkel-summe von 180°, und man muss insgesammt auf ein vielfaches von 360° kommen.
wenn man aber eine ungerade zahl von dreiecken verwendet, kommt man nicht auf ein vielfaches von 360°.
und darauf muss man kommen, weil so ein quadrat total symetrisch ist, und man nur gleiche dreiecke zur verfügung hat.
vielleicht auch nicht, ist auf jeden fall mal ein ansatz.
ich meine wenn man das schaffen will, muss man auf genau einer seite des quadrats eine andere anzahl von dreieck-ecken finden, wie auf den anderen seiten. und da so ein quadrat total symetrisch ist und man nur gleiche stücke hat... |
sophie (Smartiesophie)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 13:25: |
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lieber zaph..und inexp und auch 23
natürlich weiss ich, das man mit einer ungeradenen Zahl verschieden großer Dreiecke ein quadrat legen kann, aber das geht nicht mit einer ungeraden zahl flächengleicher dreiecke.-da hab ich mich nur falsch ausgedrückt...mit euren rationalen und irrationalen koordinaten komm' ich nicht ganz mit...ist das denn nicht ganz egal, ob die koordinaten (ir-)rational sind?-es geht doch um die fläche....wisst ihr, was ich glaube?-man kann bestimmt eine gleichung aufstellen....
aber ich muss jetzt erst mal hausaufgaben machen, bevor ich darüber grübeln kann..*g*
cu, sophie |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 16:51: |
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Ich studier zwar Mathe aber 'ne Lösung hab ich bislang nicht... ich tippe stark auf "geht nicht" und ich glaube, sowas in der Art hat mal Kolmogorow auf der IMO gestellt, das hat dann keiner rausgekriegt, dann hat es der Mann selber machen müssen...
Jedenfalls ist die Rationalität der Koordinaten doch sowas von egal, was diskutiert ihr da noch lange herum? Wo läge denn ein Problem wenn sie es sind?
Was die Innenwinkelsumme angeht: Es zählen aber nur die Winkel, die man mit dem Quadrat gemeinsam hat, die anderen sind egal... die in der Mitte z.B...
Tschuldigung, ich bin nicht gerade konstruktiv... |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. März, 2001 - 17:52: |
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Kuckt mal, was ich hier gefunden habe:
Monsky, Paul: On dividing a square into triangles
Amer. math. Monthly 77, 161-164 (1970)
Settling a conjecture of Fred Richman and John Thomas [Amer. Math. Monthly 74, 329, Problem 5479 (1967)], this note shows that a square S cannot be divided into an odd number of non-overlapping triangles, all of the same area. The proof is quite surprising. One introduces a valuation on the reals prolonging the 2-adic valuation of the rationals and obtains impossible congruences for the coordinates of the vertices of the various triangles. The same technique shows more generally that if a square of side 1 is divided into non-overlapping triangles of areas a1,...,an, then there ist an f in Z[X1,...,Xn] such that f(a1,...,an) = 1/2.
Autoreferat. |
Lnexp (Lnexp)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. März, 2001 - 20:52: |
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Hi Zaph, vielen Dank für Deine Recherche; nur kann ich unter dem Link nichts genaueres nachlesen.
Weist Du vielleicht ob man das Amer. math Monthly irgendwo im web finden kann, um die Lösung online anzugucken (oder muss ich zur Landesbibliothek gehen)?
cu |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. März, 2001 - 01:19: |
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Hi Lnexp,
unter dem angegebenen Link habe ich genau das gefunden, was ich gepostet habe, und nichts genaueres. Ich denke, du erhältst diese Zeitschrift (American Mathematical Monthly) in jeder einigermaßen sortierten Unibibliothek - vielleicht auch in deiner Landesbibliothek. Im Web wirst du den bestimmten Artikel wahrscheinlich nicht finden.
Da der Artikel nur vier Seiten umfasst, hoffe ich, dass er einigermaßen verständlich ist. Meld' dich mal, wenn du es gerafft hast :-)
Viele Grüße
Zaph |
lnexp
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 03:55: |
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OK, Danke, wenn die Zeit kommt... |
Lnexp (Lnexp)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. August, 2001 - 00:29: |
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Hi Zaph
Hab mir den Beweis besorgt und "durchgemacht".
Kann man verstehen, ist aber sehr trickreich gemacht.
cu lnexp |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. August, 2001 - 17:38: |
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Schön!
Gibt es einen wesentlichen, kurz zu umschreibenden Trick? |
Lnexp (Lnexp)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. August, 2001 - 21:12: |
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Nein Zaph
Ist ziemlich genial gemacht, und man muss sich ganz schön hinhocken dazu. Unter anderem sind es kombinatorische Überlegungen, und eine Ultranorm wird eingeführt und von den rationalen Zahlen auf die reellen Zahlen fortgesetzt.
cu
lnexp |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. August, 2001 - 23:00: |
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Hört sich interessant an! Vielleicht sollte ich mir die Zeitschrift selbst mal ausleihen.
Gruß
Zaph |
Lnexp (Lnexp)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 14:59: |
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Ja, es lohnt sich wirklich. Die Fortsetzung von den rationalen auf die reellen Zahlen muss man allerdings selbermachen oder auch irgendwo nachschlagen.
cu
lnexp |
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