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Sebastian (sebastian140378)
Mitglied
Benutzername: sebastian140378
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 18:21: | 
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Hallo ich suche ein wenig Hilfe sowie eine bessere Erklärung zu folgender Aufgabe:
Gegeben sei die Matrix A:
A=
a.) Berechnen Sie die Matrix B=A*A
b.) Bestimmen sie die Determinante von A und die inverse Matrix A^-1
c.) Überprüfen Sie, ob l1=-1 Eigenwert von A ist, und berechnen Sie gegebenenfalls einen Eigenvektor X1 zum Eigenwert.
d.) Geben Sie alle Eigenwerte l1, l2, l3 von A als Lösung der charakterischtischen Gleichung an.
Ein paar Lösungen habe ich ja schon!
Zu a.) B=
zu b.) det A =-25, A^-1=1/det A
Zu c.) Ich weiß das –1 Eigenwert der Matrix ist, da die Probe (Determinate) =0 war! Richtig?!
Nur wie berechne ich den Eigenvektor???
Zu d.) A=
Ich weiß das ich Unterdeterminanten berechnen muß, aber wie komme ich auf die Gleichung???
Danke im Vorraus!
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Stefan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 22:31: |
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leider keine genaue Erklärung, aber a-c sehen gut aus, bei d) passt der Ansatz, jetzt noch als det berechnen und gleich null setzen, d.h. du kommst auf irgendwas mit -l^3+ ... das gleich 0 setzen dann noch mit l+1 Polynomdivision. Ich komm auf l2=5 und l3=5.
Ach und bei Eigenvektor mußt du für lambda den Eigenwert in die Matrix einsetzen und dann gilt für Eigenvektor e: diese Matrix mal e=0 |
Sebastian (sebastian140378)
Mitglied
Benutzername: sebastian140378
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 10:26: |
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Hm, ich weiß das es bei der Determinaten Berechnung mehrere Möglichkeiten gibt! Die Probe ergab bei mir die Einheitmatrix, also kann es ja nicht so falsch sein?! Ich komme zwar bei d.) auf genannte Gleichung mit -lambda^3... aber deren Lösung wirft bei mir ungeklärte Fragen auf! Kann mir jemand dort den Ansatz liefern? |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 330
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 11:05: |
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Sebastian,
Um die Eigenwerte (EW) von A zu bestimmen,
berechnet man das charakteristische
Polynom von A :
fA(t) := det(A-t*A).
In unserem Fall ergibt sich (Entwicklung nach
der 3.Zeile)
fA(t) = (5-t)(t2 - 4t - 5)= -(t+1)(t-5)2.
Die EW sind also t1 = -1, t2=t3=5.Ein Vektor u ‡ 0 ist definitionsgemäss
Eigenvektor (EV) zum EW t g.d.w.
A u = t*u <==> (A - t*E)u = 0
Dies ist ein lineares homogenes Gleichungssystem , welches man nach u
auflösen muss. Z.B. findet man
u1 = (1,-1,0}T
als EV zum EW -1 (Rechne nach !)
5 ist ein sog. ausgearteter EW, d.h. es gibt
(bis auf Skalarfaktor) nur einen EV, denn
der Rang der Matrix (A-5E) ist = 2.
mfg
Orion
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