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Beitrag |
    
Carsten
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Oktober, 2002 - 23:05: | 
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Ich suche Wege wie man folgendes Integral lösen kann:
ò-¥ ¥ 1/(x4+5x2+4) dx |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 325
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Oktober, 2002 - 08:09: |
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Carsten,
Hinweis: Der Nenner lässt sich als
(x2 + 1)(x2 + 4) faktorisieren, daraus
ergibt sich leicht die Partialbruchzerlegung
des Integranden als
(1/3)*[1/(x2 + 1) - 1/(x2 + 4)]
Eine Stammfunktion des Integranden ist
somit
(1/3)*arctan(x) - (1/6)*arctan(x/2).
mfg
Orion
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Carsten
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Oktober, 2002 - 17:14: |
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Hm.
Ich weiss jetzt aber nicht wie ich die Grenzen
in die Stammfunktion einsetzen kann.
Wahrscheinlich muss man dann mit Grenzwerten rechen.
Ich hab aber ehrlich gesagt keinen Plan wie das geht.
mfg Carsten |
PaulPeter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Oktober, 2002 - 18:23: |
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Hallo Carsten,
in der Praxis musst du dir über die Grenzwerte keinen Kopf zu zerbrechen.
Die Grenzen einfach einsetzen:
arctan(¥) = p/2
arctan(-¥) = -p/2
insgesamt ergibt sich Integral = p/6 |
Carsten
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Oktober, 2002 - 21:37: |
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Dumme Frage, aber voher weiss man das der
arctan von -¥ und ¥ -p/2 bzw. p/2 ist? |
Carsten
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 15:02: |
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Ich hab leider immer noch keine Ahnung.  |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 595
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 15:18: |
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Hi Carsten
Der tangens ist ja definiert durch:
tan(x)=sin(x)/cos(x)
Er wird also genau dann z.B. +oo , wenn der cosinus im Nenner den Wert 0 annimmt, oder besser gesagt gegen diesen Wert strebt. 0 wird der cosinus eben an der Stelle p/2. Gleiche Überlegung kannst du auch nehmen bei arctan(-oo).
MfG
C. Schmidt |
Grundschüler
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 17:48: |
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Und das ist Uni-Niveau??? |
Stefan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Oktober, 2002 - 21:51: |
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ja, denn wenn du noch in der Schule bist (nicht unbedingt Grundschule) und du dieses Integral locker lösen kannst, solltest du dir überlegen Mathe zu studieren. |
Oliver (bainy)
Mitglied
Benutzername: bainy
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Oktober, 2002 - 21:53: |
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Mit dem Residuensatz geht das relativ einfach,
allerdings muss man sich mit der Grundidee auseinander
gesetzt haben.
Da die Erklärung etwas zuviel wäre - hier nur der
verkürzte Lösungsweg:
Als ersten die Singularitäten:
z4+5*z2+4=0 ; y=z2
y2+5*y+4=0
y1=-4
y2=-1
z1=2i
z2=i
z3=-i
z4=-2i
z3 und z4 entfallen! (siehe Theorie!)
Residuensatz:
ò-¥ ¥ dz/(z4+5*z2+4) = 2*p*i*S2 n=1 Res(f(z),zn)
Res(f(z)=g(z)/h(z),zn)=g(zn)/h'(zn)
Res(f(z),z1)=1/(4*z13+10*z1)= (1/12)*i
Res(f(z),z2)=1/(4*z23+10*z2)= (-1/6)*i
ò-¥ ¥ dz/(z4+5*z2+4) = 2*p*i*((1/12)*i-(1/6)*i)
= (2*p*i)*(-1/12)*i = p/6 |
Grundschüler
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Oktober, 2002 - 15:56: |
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Ich fürchte wenn jemand nicht weiß was der arctan(¥) ist, dann kann er auch mit dem Residuensatz nichts anfangen.
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