| Autor |
Beitrag |
    
Elfriede
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Oktober, 2002 - 08:03: | 
|
Hallo,
Wer kann mir helfen, die nachstehende Aufgabe zu lösen?
Man bestimme das Maximum der Funktion F(x,y,z) = x * y * z,
wenn der Punkt P(x/y/z) auf dem Ellipsoid
x ^ 2 + 2 y ^ 2+ 3 z ^ 2 = 1 läuft.
Es gelte x>=0,y>=0,z>=0
Vielen Dank im Voraus
Elfriede
|
megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Oktober, 2002 - 10:18: |
|
Hi Elfriede,
Es gibt mehrerer Methoden, Deine Aufgabe zu lösen.
Ich wähle als erstes die Multiplikatormethode von Lagrange,
wobei ich für den Multiplikator die Bezeichnung L statt,
wie üblich, lambda wähle.
Mit Hilfe dieses noch zu bestimmenden Faktors L bilden wir die
neue Funktion
Phi ( x / y / z / L ) = F + L* N(x / y / z) mit der auf Null gebrachten
linken Seite der Nebenbedingung
N (x / y / z ) = x ^ 2 + 2 y ^ 2+ 3 z ^ 2 - 1
Die partiellen Ableitungen von Phi nach x, nach y, nach z und nach L,
welche wir mit Phi x , Phi y , Phi z , Phi L bezeichnen,
werden der Reihe nach null gesetzt und das so entstandene
Gleichungssystem wird nach x, y, z und L aufgelöst.
Die Lösungen für x, y , z sind die Werte der Variablen,
welche in unserem Fall das Extremum von F liefern werden.
Ausführung
Phi x = y z + 2 L z = 0, daraus L = - y z / (2 x) …………………. . (1)
Phi y = x z + 4 L y = 0, daraus L = - x z / (4 y)……………………. (2)
Phi z = x y + 6 L z = 0, daraus L = - x y / (6 z)…………………… (3)
Phi L = x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 – 1 = 0 ; das ist die Nebenbedingung !
Die Gleichsetzung der L-Werte führt auf
x ^ 2 = 2 y ^2
z ^ 2 = 2 / 3 * y ^ 2
Setzt man diese Beziehungen in die Nebenbedingung ein,
so erhält man leicht eine Gleichung für y allein:
6 y ^ 2 = 1, daraus entsteht x ^ 2 = 1/3 und schließlich z ^ 2 = 1/9
Es gibt auf dem Ellipsoid einen Punkt
P1 (1/wurzel(3) / 1/wurzel(6) / 1/3 )
mit lauter positiven Koordinaten, für welchen die Funktion F ihr
Maximum M annimmt.
Dass es sich um ein Maximum handelt, zeigen wir demnächst
anhand einer zweiten Methode.
Der Wert von M ist: M = 1/18 * wurzel (2).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Oktober, 2002 - 13:20: |
|
Hi Elfriede
Es folgt jetzt eine zweite Lösungsart Deiner Aufgabe
mittels (!) der Methode
des geometrischen und arithmetischen Mittels.
===================================
Sei a1 = x^2 , a2 = 2 x^2 , a3 = 3 z^2.
Wir berechnen das arithmetische Mittel A dieser drei Terme aj und erhalten:
A = 1/3 ( x^2 + 2 y^2 +3 z^2 ).
Für das geometrische Mittel G derselben Zahlen kommt:
G = 6^ (1/3) *{ x y z } ^ (2/3)
Nach dem Satz über das geometrische und arithmetische Mittel gilt
G < = A ; potenziert man beide Seiten noch mit 3/2, so entsteht
die Ungleichung
x y z * wurzel(6) < = [ (x^2 + 2 y^2 +3 z^2 ) ^ (3/2) ] / [3^(3/2)]
Beachte, dass die Klammer im Zähler des Brucheswegen der
Nebenbedingung 1 ist !
Wir erkennen nun sofort das Maximum
von F = x y z ; es ist :
M = 1/ wurzel(6) * 1 / {3 * wurzel 3 } = 1 / { 9 * wurzel (2) }
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° °°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
