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Sebastian (sebastian140378)
Mitglied
Benutzername: sebastian140378
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 10:58: | 
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Hier die Aufgabe in der nun richtigen Rubrik!
Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
u''(t)+u(t)=e^t, u(0)=1, u'(o)=1
Danke im Vorraus! |
Louis
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 12:15: |
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Hi Sebastian:
u(t)=1/2*et+1/2*cos(t)+1/2*sin(t) |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 542
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 17:58: |
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und wie sieht's damit aus?
u(t) = a*e^t + b*sin(c*t + d),
u'=a*e^t+b*c*cos(c*t+d),
u"=a*e^t-b*c²*sin(c*t+d)
also
u" + u = 2*a*e^t + b*(1-c²)*sin(c*t+d) = e^t
mit b=0, a=1/2 aber das ist trivial
oder
mit a = 1/2, c = +-1
u(0) = 1 --> 1/2 + b*sin(d) = 1
u'(0)=1 --> 1/2 +- b*cos(d)=1
u(0) - u'(o)= 0 = b*(sin(d) +- cos(d) ), also trivial b=0
und entweder sin(d) = cos(d), tg(d) = 1, d = pi/4 + n*pi/2
oder
sin(d) = - cos(d), tg(d) = -1, d = 3pi/4 + n*pi/2
(
b bleibt beliebig, cos natürlich auch noch dazu; und könnt' man nicht auch noch sinh und cosh dazutun alles eben, wofür
gilt
f"(t) = a+b*f(t)
?
)
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Muriel
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 19:49: |
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Und Friedrich hat wieder zugeschlagen! |
P van Holst
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 20:43: |
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Hallo Sebastian,
das ist zwar nicht gerade Uni-Niveau, scheint aber hier Schwierigkeiten zu bereiten.
Ich zeige, wie man dies löst:
u''(t)+u(t)=et
Wir lösen zuerst die homogene Gleichung:
u''+u=0
Characteristische Gleichung: r²+1=0
mit den Lösungen r=+- i
allgemein komplexe Lösung r=u+i*v
dann ist u= eut*(Acos(vt)+Bsin(vt)
in unserem Fall ist die allgemeine Lösung der homog. Gl.:
uh = Acos(t)+Bsin(t)
Um eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gl. zu finden, machen wir den Ansatz:
up = C*et
mit den Ableitungen:
up' = C*et
up'' = C*et
und setzen dies in die Ausgangsgleichung ein:
C*et + C*et = et
also C = 1/2
die Lösung der DGL ist damit:
u= uh+up = Acos(t)+Bsin(t)+(1/2)*et
Jetzt berücksichtigen wir noch die Anfangsbedingungen:
u(0)=1 = A + 1/2
ergibt: A=1/2
u'(0)=1 = B + 1/2
ergibt: B = 1/2
und die gesuchte Lösung ist:
u(t) = (1/2)*cos(t) + (1/2)*sin(t) + (1/2)*et
wie schon Louis gefunden hat. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 545
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 09:21: |
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 megamath? Ich bitte
die hohen Herren um sachlichen Kommentar meiner Arbeit.
Mir ist klar, daß zu Dgl's umfangreiche Theorie schon besteht - deren notwendiger Teil Sebastian warscheinlich schon vorgetragen worden ist - die hier ein schematisches ( "nach feststehendem Plan") Vorgehen erlaubt.
Ich
habe mich mit dem speziellem Problem eben ohne diesem Vorwissen befaßt.
Nur
eingefahrenen Spuren zu folgen hätte die Mathematik und andere Wissenschaften nie vorangebracht. |
Jens
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 09:29: |
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Hallo Friedrich Laher,
wenn
u'=a*e^t+b*c*cos(c*t+d) und
u"=a*e^t-b*c²*sin(c*t+d)
wieso kommst du damit auf
u" + u = 2*a*e^t + b*(1-c²)*sin(c*t+d)???
Könntest du das bitte erklären? |
Jens
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 09:43: |
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Hallo Friedrich Laher nochmal,
sorry, jetzt verstehe ich es.
Es ist ja u''+u
ich habe u''+u' gemeint.
Trotzdem glaube ich dass dein Ansatz grundsätzlich nicht richtig ist.
Die Funktion e^t kann niemals die Summe von a*e^t und einer Sinus-Funktion sein.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 547
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 10:31: |
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das behaupte ich auch nicht, und "deshalb folgt auch" |c| = 1 . |
Sebastian (sebastian140378)
Mitglied
Benutzername: sebastian140378
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 10:36: |
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Danke nochmal für eure Hilfe! Sicher wird euch mein Problem trivial vorkommen, nur leider bekommt man in einigen Uni´s nur die Theorie hingeworfen wie ein Brocken Fleisch und man soll selber sehen wie man damit zurecht kommt. |
