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Beitrag |
    
Andreas
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 07:07: | 
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Hallo,
Für die folgende Aufgabe finde ich leider keinen Lösungsansatz.
Kann mir jemand einen Lösungsweg vorschlagen oder sonst wie
helfen?
Die Aufgabe lautet so:
In der Kegelschnittgleichung (b - a) x y + (a -1) x + (1 – b) y = 0
sind a und b zwei verschiedene reelle Konstanten. Durch eine
Parallelverschiebung des (x,y)-Koordinatensystems erzeuge man mit
den neuen Koordinaten X,Y die äquivalente Gleichung X *Y = C.
Man drücke C durch a und b aus.
Vielen Dank im Voraus und freundliche Grüsse
Andreas
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 319
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 08:07: |
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Andreas,
Der Lösungsweg ist eigentlich gemäss Aufgabentext "straightforward" :
Die Translation des Koordinatensystems wird
durch
x = X + u , y = Y + v
beschrieben, wobei u und v zu bestimmen sind. Setze dazu obige x,y in die Kegelschnittgleichung ein, ordne nach
XY, X, Y und setze die Koeffizienten von X und
Y gleich Null. Das ergibt die gesuchten
u,v und damit letztlich die Konstante C.
mfg
Orion
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megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 08:24: |
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Hi Andreas,
Eine hilfreiche Bemerkung am Anfang:
Wie man leicht feststellt, liegt eine Normalhyperbel vor, d.h.
eine Hyperbel, deren Asymptoten aufeinander senkrecht stehen.
Diese Hyperbel geht durch den Nullpunkt O des
(x,y) - Koordinatensystems, wie man sofort sieht.
Zuerst ermitteln wir die Koordinaten xo,yo des Mittelpunktes M
der Hyperbel, indem wir ihre Asymptoten a1, a2 bestimmen.
Diese verlaufen parallel zu den Koordinatenachsen, wie man
aus der gegebenen Gleichung erkennt.
Wir lösen diese Gleichung nach y auf; es kommt.
y = [ (1 - a) x ] / [ (b – a ) x + 1 – b ) ]
Die vertikale Asymptote a1 erhält man nun dadurch,
dass man beim letzten Bruch den Nenner null setzt.
Die Gleichung von a1 lautet somit:
x = ( b -1) / ( b – a ) .
Die horizontale Asymptote a2 erhält man dadurch,
dass man den Grenzwert von y für x gegen unendlich ermittelt;
dieser Grenzwert ist ( 1 – a ) / ( b -a ).
Die Gleichung von a2 lautet somit:
y = (1 – a ) / ( b – a ) .
Der Schnittpunkt dieser Asymptoten ist der Mittelpunkt M der Hyperbel.
Für die Koordinaten xo, yo von M erhalten wir demnach:
xo = ( b - 1) / ( b – a )
yo = (1 – a) / ( b – a ) .
Nun führen wir die verlangte Parallelverschiebung des
(x,y) - Koordinatenystems mit M als neuem Nullpunkt aus.
Die Koordinaten eines Punktes bezüglich dieses neuen Systems
heißen X,Y.
Zwischen den neuen Koordinaten X,Y und den alten Koordinaten x, y
bestehen die Beziehungen:
X = x - xo, Y = y – yo .
Wir erhalten somit zwei Formen für die Gleichung unserer Hyperbel,
nämlich:
X * Y = ( x - xo ) * ( y – yo ) = C
Der alte Nullpunkt O mit x = 0 und y = 0 liegt auf der Hyperbel;
mithin gilt:
xo * yo = C, woraus wir für die gesuchte Konstante C den Term
C = ( b – 1 ) * (1 - a ) / (b – a ) ^ 2
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erhalten.
Freigewähltes numerisches Beispiel:
a = ¼ , b = ½ .
Die Gleichung der Hyperbel lautet:
x y – 3 x + 2 y = 0
Mittelpunkt M: xo = - 2 ; yo = 3.
Konstante C = - 6, ALSO X Y = - 6 .
Mit freundlichen Grüßen
Hans Rudolf Moser, megamath.
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Andreas
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 10:08: |
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Ich bedanke mich bei Orion und bei megamath für die Hilfe und die Arbeit,
es war sehr aufschlußreich!
Mit freundlichen Grüßen
Andreas |
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