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Beitrag |
    
DULL (dull)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 10:23: | 
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Ich sitze gerade an einem Problem und es würde mir sehr helfen, wenn folgender Satz gilt:
Sei:
0<a<b<1
und 0<x<y<1
Dann gilt:
(1-x*a)/(1-y*b) < (1-x)/(1-y)
Ich wäre über ein Beweis (oder ein Gegenbeispiel) sehr dankbar.
Danke schon im Vorraus, DULL
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 219
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 12:12: |
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Hi DULL
nimm mal folgendes
x = 1/4
y = 3/4
(1-a/4)*(1-3/4) < (1-1/4)*(1-3*b/4) | 1-3b/4 > 0 => 4 > 3b => gilt nach Bedingung immer
(1-a/4)/4 < 3*(1-3*b/4)/4
(1-a/4) < 3*(1-3*b/4)
1-a/4 < 3-9b/4
4-a < 12 - 9b
-a < 8 - 9b
a > 9b - 8
jetzt nimmst für b z.B. 899/900 und dann findest sicher ein a < 99/100 und damit ist die Ungleichung als falsch bewiesen;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Toni
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 22:18: |
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Servus Walter,
oder auch:
x:=1/10;y:=2/10;a:=2/10;b:=8/10;
=>
(1-x*a)/(1-y*b) = 7/6 = 28/24
(1-x)/(1-y) = 9/8 = 27/24
=>
(1-x*a)/(1-y*b) > (1-x)/(1-y)
Gruaß
Toni |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 220
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 05:03: |
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Hi Toni,
mit einem Beispiel die Umkehrung zu beweisen ist aber schon sehr gewagt:
nehmen wir mal an:
a = x und b = y | laut Voraussetzung möglich
dann müßte nach deiner Rechnung immer gelten
(1-x^2)/(1-y^2) > (1-x)/(1-y)
(1-x^2)*(1-y) > (1-x)*(1-y^2)
(1-x)*(1+x)*(1-y) > (1-x)*(1-y)*(1+y)
1+x > 1+y
x > y
und damit ist Deine Ungleichung als komplett falsch bewiesen, weil laut Voraussetzung gilt: 0<x<y<1;
Anmerkung:
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 221
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 05:17: |
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Anmerkung
Für die Falsifikation einer Ungleichung genügt ein Beispiel, aber für die Richtigkeit der Umkehrung des Ungleichheitszeichens braucht man etwas mehr; 
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 320
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 14:04: |
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Hallo,
Von der Lösungsmenge der fraglichen Ungleichung kann man sich leicht ein Bild
machen: Nach erlaubter Erweiterung mit dem
(nach Voraussetzung positiven) Hauptnenner (1-by)(1-y) lautet sie
f(x,y) := (b-a)xy + (a-1)x + (1-b)y > 0.
Für jedes (a,b) stellt die Gleichung f(x,y) = 0
eine durch die Punkte (0,0) und (1,1)
verlaufende rechtwinklige Hyperbel dar.
Die Lösungsmenge von f(x,y)>0 ist der
durch die Hyperbel und die Geraden x=0
sowie y=1 begrenzte offene Teilbereich
des Dreiecks mit den Ecken (0,0), (0,1) und
(1,1).
mfg
Orion
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Toni
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 17:18: |
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Hallo Walter,
Die von mir angegebene Ungleichung (1-x*a)/(1-y*b) > (1-x)/(1-y) sollte nicht etwa allgemein für irgendwelche a,b,x,y gelten, sondern sie sollte natürlich unter den Voraussetzungen x:=1/10;y:=2/10;a:=2/10;b:=8/10; gelten.
Ich wollte damit nur ein einfach (notfalls mit Kopfrechnen) nachvollziehbares Gegenbeispiel geben.
Ist es denn falsch, so wie ich das aufgeschrieben habe?
Gruß
Toni
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 559
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 17:37: |
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Hi Toni
Ich denke mal schon, dass du das so aufschreiben darfst, weil du ja ganz am Anfang deine Werte für x,y,a,b definiert hast. Sieht halt nur am Ende ein bißchen so aus, als ob du das allgemein meinen würdest, weil du da wieder statt den Zahlen die Buchstaben nimmst. War wohl nur ein Mißverständnis.
MfG
C. Schmidt |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 222
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 09:48: |
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Hi Christian,
dann müßte es aber so geschrieben sein:
(1-x*a)/(1-y*b) > (1-x)/(1-y) mit x = 1/10, y = 2/10, a = 2/10, b = 8/10;
beugt dann Mißverständnisse vor und man weiß was gemeint ist.
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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